Вывод формул для оценки наивероятнейшего значения (Мо)

Рассмотрим сначала распределение Бернулли .

Записываем условие максимума P_n(Mo)  max и преобразовываем его:

P_n(Mo – 1)  P_n(Mo)  P_n(Mo + 1)

np – q  Mo  np + p

Точно также можно получить оценку моды (Мо) для распределения Пуассона:

P(Mo – 1)  P(Mo)  P(Mo + 1)

a –1  Mo  a

Вывод формул для расчета характеристик распределения Пуассона

Выше характеристики для распределения Пуассона были получены предельным переходом из характеристик распределения Бернулли. Однако распределение Пуассона имеет самостоятельную область применения и может быть выведено независимо от распределения Бернулли. Кроме того, нас интересует еще одна характеристика – коэффициент эксцесса, которая не была выведена нами ранее для распределения Бернулли.

Далее мы будем использовать известное разложение экспоненты в сходящийся ряд:

. Отсюда получаем ,

,

,

,

,

Таким образом, легко определяются первые четыре момента распределения:

m₁ = M(m) = a, m₂ = M(m²) = M(m(m–1)) + m₁ = a² + a,

m₃ = M(m³) = M(m(m–1)(m–2)) + 3m₂ – 2m₁ = a³ + 3(a² + a) – 2a = a³ + 3a² + a,

m₄ = M(m⁴) = M(m(m–1)(m–2)(m–3)) + 6m₃ – 11m₂ + 6m₁ = a⁴ + 6a³ + 7a² + a,

Вычисляем центральные моменты распределения:

₁ = M(m–а) = 0, ₂ = M((m–а)²) = m₂ – (m₁)² = (a² + a) – a² = a,

₃ = M((m–а)³) = m₃ –3m₂m₁ + 2(m₁)³ = (a³ + 3a² + a) – 3(a² + a)a + 2a³ = a,

₄ = M((m–а)⁴) = m₄ – 4m₃m₁ + 6m₂(m₁)² – 3(m₁)⁴ = 3a² + a.

Отсюда получаем все необходимые характеристики распределения Пуассона:

.

При увеличении параметра а коэффициенты асимметрии и эксцесса уменьшаются и распределение Пуассона приближается к симметричному распределению Лапласа (нормальному распределению), для которого А = Е = 0.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте задачу Бернулли, приведите ее другие названия.

2. Опишите особенности распределения Бернулли в зависимости от ее параметров.

3. Приведите расчетные формулы для основных характеристик распределения Бернулли.

4. Укажите область применения асимптотических формул Пуассона и Лапласа.

5. Приведите формулу Пуассона и укажите область применения этого распределения. Что такое "реккурентная формула"?

6. Опишите особенности распределения Пуассона в зависимости от параметра.

7. Приведите расчетные формулы для основных характеристик распределения Пуассона.

9