Вывод формул для оценки наивероятнейшего значения (Мо)
Рассмотрим
сначала распределение Бернулли
.
Записываем условие максимума Pn(Mo) max и преобразовываем его:
Pn(Mo – 1) Pn(Mo) Pn(Mo + 1)
np – q Mo np + p
Точно также можно получить оценку моды (Мо) для распределения Пуассона:
P(Mo – 1) P(Mo) P(Mo + 1)
a –1 Mo a
Вывод формул для расчета характеристик распределения Пуассона
Выше
характеристики для распределения
Пуассона были получены предельным
переходом
из характеристик распределения Бернулли.
Однако распределение Пуассона имеет
самостоятельную область применения и
может быть выведено независимо от
распределения Бернулли. Кроме того, нас
интересует еще одна характеристика –
коэффициент эксцесса, которая не была
выведена нами ранее для распределения
Бернулли.
Далее мы будем использовать известное разложение экспоненты в сходящийся ряд:
.
Отсюда получаем
,
,
,
,
,
Таким образом, легко определяются первые четыре момента распределения:
m1 = M(m) = a, m2 = M(m2) = M(m(m–1)) + m1 = a2 + a,
m3 = M(m3) = M(m(m–1)(m–2)) + 3m2 – 2m1 = a3 + 3(a2 + a) – 2a = a3 + 3a2 + a,
m4 = M(m4) = M(m(m–1)(m–2)(m–3)) + 6m3 – 11m2 + 6m1 = a4 + 6a3 + 7a2 + a,
Вычисляем центральные моменты распределения:
1 = M(m–а) = 0, 2 = M((m–а)2) = m2 – (m1)2 = (a2 + a) – a2 = a,
3 = M((m–а)3) = m3 –3m2m1 + 2(m1)3 = (a3 + 3a2 + a) – 3(a2 + a)a + 2a3 = a,
4 = M((m–а)4) = m4 – 4m3m1 + 6m2(m1)2 – 3(m1)4 = 3a2 + a.
Отсюда получаем все необходимые характеристики распределения Пуассона:
.
При увеличении параметра а коэффициенты асимметрии и эксцесса уменьшаются и распределение Пуассона приближается к симметричному распределению Лапласа (нормальному распределению), для которого А = Е = 0.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте задачу Бернулли, приведите ее другие названия.
2. Опишите особенности распределения Бернулли в зависимости от ее параметров.
3. Приведите расчетные формулы для основных характеристик распределения Бернулли.
4. Укажите область применения асимптотических формул Пуассона и Лапласа.
5. Приведите формулу Пуассона и укажите область применения этого распределения. Что такое "реккурентная формула"?
6. Опишите особенности распределения Пуассона в зависимости от параметра.
7. Приведите расчетные формулы для основных характеристик распределения Пуассона.