4.1.1 Окружность

В случае, когда a = b, уравнение (4.1) принимает вид

= 1 или x² + y² = a²

и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат (рисунок 4.3). В этом случае c = 0, поэтому ε = 0.

Из школьного курса известно уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀(x₀, y₀):

(x – x ) +(y – y ) = R .

Т

Рисунок 4.3

акое уравнение называют каноническим уравнением окружности.

4.2. Гипербола

О

Рисунок 4.4

пределение 4.2. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть F₁(–c, 0) и F₂(c, 0) – фокусы. Тогда F₁F₂ = 2c – фокусное расстояние (рисунок 4.4). Постоянную величину, о которой идёт речь в определении, обозначим 2a. Тогда по определению 2a < 2c, т. е. a < c.

Пусть M(x; y) – произвольная точка гиперболы. Рассуждая по аналогии с п. 4.1, можем получить уравнение

= 1, где b² = c² – a². (4.2)

Уравнение (4.2) называют каноническим уравнением гиперболы. Гипербола с уравнением (4.2) изображена на рисунок 4.5. Прямоугольник MNKL, стороны которого MN = LK = 2a, ML = NK = 2b, называется основным прямоугольником.

П

Рисунок 4.5

рямые MK и NL называют асимптотами гиперболы, их уравнения : y = – x и y = x, соответственно. Гипербола имеет две ветви: левую и правую. Центр симметрии гиперболы называется её центром. Оси симметрии гиперболы называются её осями. Одна ось пересекает гиперболу в двух точках (на рисунке 4.5 это т. A₁ и A₂), эта ось называется действительной осью гиперболы, другая ось – мнимой осью, она не имеет общих точек с гиперболой. Длины отрезков A₁A₂ и B₁B₂ также называют осями. Величины a и b называются полуосями гиперболы. Если a = b, то гипербола называется равносторонней, её уравнение

x² – y² = a².

Уравнение – = 1 (4.3)

о пределяет гиперболу с действительной осью Oy (рисунок 4.6).

Гиперболы, определяемые уравнениями (4.2) и (4.3) в одной и той же системе координат, называются сопряжёнными. Эксцентриситет гиперболы – это отношение фокусного расстояния к расстоянию между вершинами гиперболы (т. е. точками пересечения гиперболы с осями). Для уравнения (4.2)

ε

Рисунок 4.6

= .

Так как c > a, то ε > 1. Фокальные радиусы точки M гиперболы – это отрезки F₁M и F₂M. Их длины r₁ и r₂:

для правой ветви r₁ = εx + a, r₂ = εx – a,

для левой ветви r₁ = – εx − a, r₂ = – εx + a.

4.3. Парабола

Определение 4.3. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, и не проходящей через фокус.

Возьмём в прямоугольной системе координат точку F( , 0), где p > 0, и пусть она будет фокусом. Директрисой будет прямая x = – (рисунок 4.7). Пусть M(x, y) – произвольная точка параболы. Если K – основание перпендикуляра из точки M к директрисе, то она имеет координаты (– , y). По определению 4.3 MK = MF.

Т

Рисунок 4.7

огда = , = , т. к. x ≥ 0.

Возводим уравнение в квадрат и приводим подобные члены:

,

y² = 2px. (4.4)

Уравнение (4.4) называется каноническим уравнением параболы. Величину p называют параметром параболы. Парабола с уравнением (4.4) изображена на рисунок 4.8. Точка O называется вершиной параболы, ось симметрии – осью параболы. Если парабола имеет уравнение y² = – 2px, то её график расположен слева от оси Oy (рисунок 4.9). Уравнения x² = 2py и x² = – 2py, p > 0 определяют параболы, изображённые на рисунках 4.10 и 4.11, соответственно.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение окружности. Какой вид имеет уравнение с центром в начале координат?

2. Дайте определение эллипса. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипса?

3. Что называется эксцентриситетом эллипса и какова его величина?

4. Дайте определение гиперболы. Какой вид имеет каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ох? на оси Oy?

5. Что называется эксцентриситетом гиперболы и какова его величина?

6. Какие прямые называются асимптотами гиперболы? Какой вид имеют уравнения асимптот гиперболы, заданной каноническим уравнением?

7. Дайте определение параболы. Какой вид имеет каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох? относительно оси Оу?