- •Содержание
- •1 Аналитическая геометрия на плоскости
- •1.1 Цели и задачи аналитической геометрии
- •1.2 Системы координат на плоскости
- •1.2.1 Прямоугольная система координат на плоскости
- •1.2.2 Полярная система координат
- •1.2.3 Связь между полярными и декартовыми координатами
- •1.3 Расстояние между двумя точками
- •1.3.1 Деление отрезка в данном отношении
- •1.4 Площадь треугольника
- •2 Уравнение прямой на плоскости
- •2.1 Общее уравнение линии на плоскости
- •2.2 Общее уравнение прямой на плоскости
- •2.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2.2.2 Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •2.2.3 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
- •2.2.4 Уравнение прямой в отрезках по осям
- •2 Рисунок 2.4 .3 Угол между прямыми на плоскости
- •2.4 Условия параллельности и перпендикулярности прямых па плоскости
- •3 Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •3.1 Расстояние от точки до прямой
- •3.2 Взаимное расположение прямых на плоскости
- •4 Линии второго порядка на плоскости
- •4.1 Эллипс
- •4.1.1 Окружность
- •4.2. Гипербола
- •4.3. Парабола
- •5 Матрицы и действия над ними
- •5.1 Понятие о матрице
- •5.2 Алгебраические преобразования матриц
- •5.2.1 Сложение и вычитание матриц
- •5.2.2 Умножение матрицы на число
- •5.2.3 Умножение матриц
- •5.2.4 Транспонирование матриц
- •5.3 Элементарные преобразования строк матрицы
- •5.4 Ступенчатая матрица. Ранг матрицы
- •6.1.3 Определители n-го порядка (n n)
- •6.2 Свойство определителей
- •6.3 Обратная матрица
- •7 Системы линейных уравнений
- •7.1 Системы линейных уравнений
- •7.1.1 Критерий совместности системы линейных уравнений
- •7.2 Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •7.3 Метод Крамера решения систем линейных уравнений
- •7.4 Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •8 Векторы
- •8.1 Прямоугольная декартова система координат в пространстве
- •8.2 Понятие вектора
- •8.3 Линейные операции над векторами и проекция вектора на ось
- •8.3.1 Сумма двух векторов
- •8.3.2 Произведение вектора на число
- •8.3.3 Проекция вектора на ось
- •8.4 Координаты вектора
- •8.4.1 Длина вектора. Расстояние между точками в пространстве
- •8.4.2 Деление отрезка в данном отношении
- •9 Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •9.1 Расположение векторов по базисным векторам
- •9.2 Скалярное произведение векторов
- •9.3 Векторное произведение векторов
- •9.3.1 Правая и левая система координат
- •9.3.2 Векторное произведение векторов
- •9.4 Смешанное произведение векторов
9.4 Смешанное произведение векторов
Определение 9.3. Пусть даны три вектора , и . Умножим вектор на векторно, а затем, векторное произведение × умножим скалярно на . В результате получим число ( × ) , которое называют смешанным произведение трёх векторов , и .
Теорема 9.3. Смешанное произведение ( × ) трёх некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и , связанному со знаком «+», если тройка , , правая, и со знаком «−», если эта тройка – левая.
Доказательство. Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах , и (рисунок 9.5).
П остроим вектор × и пусть – единичный вектор, одинаково направленный с вектором × . Так как │ × │= S – площадь параллелограмма OBDA, построенного на векторах и , то × = S.
Рисунок 9.5
Теперь,
( × ) =( S) = ( )S = cosφ S = S соsφ = S h = Vпараллелепипеда,
причём знак «+» берётся, если , , – правая тройка, и знак «−», если она левая.
С ледствие 9.5. Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение ( × ) = 0.
Доказательство.
Рисунок 9.6
Отметим, что если тройка , , правая, то тройка , , также правая (рисунок 9.6, а), а если тройка , , левая, то тройка , , также левая (рисунок 9.6, б).
Очевидно, что параллелепипед, построенный на векторах , , и векторах , , – один и тот же. Поэтому
( × ) = Vпарал., ( × ) = Vпаралл..
Так как тройки , , и , , либо обе правые, либо обе левые, то знак перед V выбирается в обоих произведениях одинаково. Поэтому
( × ) = ( × ) = ( × ).
Ввиду следствия 9.5 смешанное произведение векторов , , ещё обозначают .
Теорема 9.4. Если = (х1; у1; z1), = (х2; у2; z2), = (х3; у3; z3),
= .
Доказательство.
= ( × ) = х3 − у3 + z3 = .
Пример. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах = (3; 1; 2), = (2; 2; 3), = (1; 3; 1).
Решение.
V = │ │= │6 + 12 + 3 – 4 – 27 – 2│= │−12│= 12 (куб. ед.).
Ответ: 12.
Вопросы для самоконтроля
1. Что называют базисными векторами?
2. Что называется скалярным произведением двух векторов? Каковы его свойства?
3. Какие системы координат называют правыми (левыми)?
4. Что называется векторным произведением двух векторов? Каковы его свойства?
5. Что называется векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов? Каковы его свойства?
Литература
1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2004. – 280 с.
2. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов / Н. Ш. Кремер. – М. : «Юнити». 1997 г. – 439 с.
3. Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский. – М., 1978. – 352 с.
4. Яблонский, А. И. Высшая математика /А. И. Яблонский. – Мн. : Высшая школа, 2000. – 351 с.
5. Гусак, А. А. Задачи и упражнения по высшей математике / А. А. Гусак. – Мн. : Высшая школа, 1988. – 544 с.
6. Гурский, Е. И. Руководство к решению задач по высшей математике / Е. И. Гурский. – Мн. : Высшая школа, 1989. – 348 с.
7. Александров, П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П. С. Александров. – М. : Наука, 1979. – 512 с.
8. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / А. А. Бурдун [и др.]. – Мн. : Университетское, 1999. – 302 с.
9. Милованов, М. В. Алгебра и аналитическая геометрия / М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. – Мн. : Вышэйшая школа, 1984. – 269 с.
10. Гусак, А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие по решению задач / А. А. Гусак. – Мн. : ТетраСистемс, 2001. – 288 с.
11. Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – М. : Наука Гл. ред. физ.-мат. Лит., 2001. – 672 с.
12. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов / Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1970. – 560 с.
13. Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функция комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Наука,1981. – 506 с.
14. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р. Ф. Апатенок [и др.]. – Мн. : Вышэйшая школа, 1986. – 272 с.
15. Выготский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выготский. – М. : Наука, 1966. – 872 с.
16. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак [и др.]. – Мн. : ТетраСистемс, 2000. – 638 с.
Производственно-практическое издание
БУЗЛАНОВ Александр Васильевич
БОРОДИЧ Елена Николаевна
БОРОДИЧ Руслан Викторович
БОРОДИЧ Тимур Викторович
Высшая математика:
алгебра и аналитическая геометрия
на плоскости
Практическое руководство
для студентов экономических специальностей вуза
Редактор В. И. Шкредова
Корректор В. В. Калугина
Подписано в печать 18.11.2011. Формат 60×841/16.
Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 2,8.
Уч.-изд. л. 3,0. Тираж 30. Заказ № 534
Издатель и полиграфическое исполнение:
учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
ЛИ № 02330/0549481 от 14.05.2009.
У л. Советская, 104, 246019, г. Гомель.
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА:
алгебра и аналитическая геометрия
на плоскости
Гомель
2011