8.2 Понятие вектора

Некоторые физические величины (например: температура, масса, объём, длина) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения. Такие величины называются скалярными. Другие величины (например: сила, скорость, ускорение) характеризуются не только числом, но и направлением. Эти величины называются векторными. Для описания таких величин в математике введено понятие «вектор».

Рисунок 8.2

Определение 8.1. Любая упорядоченная пара точек А и В пространства определяет направленный отрезок, т. е. отрезок с заданными на нём направлением. Направленный отрезок называется вектором. На рисунке направление вектора обычно изображают стрелкой. Если в упорядоченной паре точка А первая, то её называют началом вектором, а точку В – концом вектора, в этом случае вектор обозначается . Иногда векторы обозначают малыми буквами , и т. д.

Модулем вектора называется его длина. Обозначают модуль или . Нуль-вектор (или нулевой вектор) – это вектор, начало и конец которого совпадают; обозначается он . Модуль нуль-вектора равен нулю, а направление не определено. Единичным называется вектор, длина которого равна единице.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно (рисунок 8.2).

Векторы и называются равными (обозначается = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные модули.

Векторы и называются противоположными (обозначается = − ), если они коллинеарны, противоположно направлены и имеют равные модули.

Три вектора , , называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

8.3 Линейные операции над векторами и проекция вектора на ось

8.3.1 Сумма двух векторов

К линейным операциям над векторами относятся: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

Определение 8.2. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , если вектор отложен из конца вектора (рисунок 8.3). Обозначается: = + .

С

Рисунок 8.3

уммой векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , если каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего для = 1, 2, …, n – 1.

Свойства суммы векторов:

1

Рисунок 8.4

. Свойство коммутативности: + = + (рисунок 8.4).

2. Свойство ассоциативности: ( + ) + = + ( + ) (рисунок 8.5).

Рисунок 8.5

3. + = .

4. + (− ) = .

Определение 8.3. Разностью двух векторов и (обозначается: − ) называется такой вектор , который в сумме с вектором даёт вектор , т. е. = − , если + = (рисунок 8.6).

Нетрудно заметить, что = − = + (− ).

Рисунок 8.6