- •10. Примеры решения задач
- •10.1. Комбинаторные задачи
- •10.2. Задачи на непосредственное вычисление вероятности события
- •10.3. Задачи на действия с вероятностями
- •10.4. Задачи на дискретную случайную величину (дсв)
- •10.5. Задача на непрерывную случайную величину (нсв)
- •10.6. Задачи на систему двух дискретных случайных величин
- •Список литературы
- •Оглавление
10.6. Задачи на систему двух дискретных случайных величин
В разделе 7 приведены формулы для нахождения числовых характеристик такой системы и коэффициента корреляции между случайными величинами, входящими в систему. В этих формулах используются вероятности , и . На практике в таблице, задающей систему двух ДСВ, указываются не вероятности, а частоты соответствующих пар значений . Если N общее количество зарегистрированных пар значений случайных величин, то нужные вероятности можно найти по формулам:
Тогда числовые характеристики можно найти с помощью средних значений:
Черта сверху обозначает среднее значение соответствующей величины. Коэффициент корреляции тогда можно найти по формуле:
.
Уравнения линий регрессии будут иметь вид:
Пример 1. Система двух ДСВ Х и Y задана таблицей:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
2 |
1 |
3 |
3 |
5 |
4 |
6 |
6 |
7 |
8 |
Изобразить поле рассеяния, найти коэффициент корреляции, составить уравнения линий регрессии и нарисовать их.
Найдем необходимые средние значения:
;
Найдем коэффициент корреляции:
Выпишем уравнение регрессии Y по Х:
.
После проведения вычислений это уравнение можно привести к виду:
.
В ыпишем уравнение регрессии Х по Y:
.
После преобразований это уравнение можно привести к виду:
.
Изобразим поле рассеяния и нанесем на него линии регрессии. Полем рассеяния называется графическое изображение табличных данных в виде точек с координатами на плоскости .
На рисунке под номером 1 изображена линия регрессии Y по Х, под номером 2 – линия регрессии Х по Y. Как видно, эти линии вполне соответствуют табличным данным.
Пример 2. Система двух ДСВ Х и Y задана таблицей:
|
Y |
11 |
14 |
17 |
20 |
23 |
26 |
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
2 |
|
|
|
|
7 |
10 |
|
|
7 |
5 |
1 |
|
|
13 |
15 |
|
|
3 |
11 |
6 |
1 |
|
21 |
20 |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
9 |
|
|
5 |
12 |
16 |
7 |
5 |
5 |
50 |
Изобразить поле рассеяния, найти коэффициент корреляции, составить уравнения линий регрессии и нарисовать их.
Найдем средние величины:
Вычислим коэффициент корреляции:
Выпишем уравнение регрессии Y по Х:
.
После проведения вычислений это уравнение можно привести к виду:
.
График данной линии нарисован на поле рассеяния под номером 1.
Выпишем уравнение регрессии Х по Y:
.
После преобразований это уравнение можно привести к виду:
.
График этой линии нарисован на поле рассеяния под номером 2.