1.4. Інтегрування частинами

1.4.1. Похідна від суми двох функцій дорівнює сумі похідних, тому і в оберненій операції інтегруванні інтеграл від суми двох функцій є сума інтегралів. Це одна з властивостей первісної та невизначеного інтегралу. Похідна від добутку двох функцій уже не дорівнює добуткові похідних від цих функцій, а . Використовуючи знайдемо метод виконання оберненої операції – інтегрування добутку двох функцій. З вище написаного видно, що . Інтегруючи обидві частини, одержимо формулу (1.8)

Якщо порозписувати диференціали, то одержимо (1.8а)

На прикладах розглянемо особливості застосування (1.8).

Обчислити інтеграли: 1) ; 2) ; 3) ;

Звернімо увагу на те, що представивши підінтегральний вираз у вигляді добутку з лівої частини формули (1.8) для правої частини ми повинні знайти . Для цього прийдеться u продиференціювати, а dv проінтегрувати. Потім, підставивши знайдені в (1.8), ще раз прийдеться інтегрувати добуток vdu. Звідси і назва методу “інтегрування частинами”. Розв’язуючи приклади з застосуванням цього методу (особливо коли його застосовують декілька раз), дуже легко заплутатись: що куди і звідки підставляти. А тому рекомендується така схема:

Позначаємо знаходимо

= U = =А

V

З алишилось обчислити . Зробимо очевидні перетворення і зведемо інтеграл до суми табличних = , а тому остаточна відповідь буде: .

Зверніть увагу на те, що у нас був вибір при позначенні u і dv. Якби ми позначили , то при обчисленні v виникли б труднощі: тому, що цей інтеграл не зводиться ніякими алгебраїчними перетвореннями до табличного, отже головною особливістю застосування формули (1.8) є раціональне позначення через добутку, який знаходиться під інтегралом. Завдяки правильному позначенню при застосуванні формули повинен знаходитись легше ніж . Якщо у Вас вийшло навпаки – треба перепозначити по іншому.

Знайдемо другий інтеграл уже без коментарів. =

= .

Знайдемо третій інтеграл.

{як бачимо, вираз під останнім інтегралом зовсім не кращий ніж в умові, до останнього інтегралу застосуємо знову формулу (1.8) }=

- . Зверніть увагу на те, що інтеграл виразився сам через себе, тобто ми одержали рівняння, в якому шуканим невідомим є інтеграл. Позначимо =А і, розв’язуючи лінійне рівняння відносно А, знаходимо . Такі інтеграли в яких після декількох інтегрувань частинами з’являється інтеграл умови, називаються вертлявими.

1.5. Інтегрування підстановками (заміна змінних)

1.5.1. Інтегруванням заміною змінної Ви вже займалися при обчисленні інтегралів запропонованих Вам в таблиці пункту (1.3.3.). А й справді, підганяючи інтеграл під табличний і використовуючи теорему про інваріантність формул інтегрування, ми замість змінної х брали за нову змінну ту функцію, яка стояла під диференціалом. В цьому і полягає одна з ідей інтегрування методом заміни змінної. Таким чином якщо в підінтегральному виразі вдалося виділити добуток функції від нової змінної на похідну від неї , тобто , то позначивши будемо мати . Фокус вважається вдалим, якщо табличний, чи принаймні легко знаходиться. Наприклад на перший погляд далекий від табличного, але заміна зведе його до табличного. Як же здогадатись яку заміну зробити? Для цього треба добре вміти находити диференціали, знати напам’ять таблицю інтегралів і вміти виконувати тотожні перетворення алгебраїчних виразів. Простежимо справедливість сказаного на нашому прикладі. Відомо, що . Ми знаємо, що , крім того відомо, що . Розглядаючи як u, бачимо, що . Ми наважились під диференціалом замінити на не турбуючись про наслідки так, як знаємо, що диференціал від суми дорівнює сумі диференціалів, а диференціал від постійної величини дорівнює нулеві, от тому то . А робили ми все це тому, що пам’ятаємо таблицю інтегралів і всі перетворення вели нас до заздалегідь баченої формули . При одержимо відповідь .

1.5.2. Вище ми робили заміну змінної заміняючи через и. А чи є сенс в заміні навпаки ? Так, він є в тому випадку, коли підінтегральний вираз, в результаті заміни, спроститься і інтеграл легко знаходиться. В цьому полягає ще одна ідея інтегрування методом заміни змінної. Після цього треба лише перейти назад від змінної и до змінної х. При застосуванні підстановки, як і в попередньому випадку, найбільша трудність полягає в тому, щоб знайти вдалу підстановку. Це приходить з досвідом і, набираючись його приступимо до прикладів.

1) {непогано було б х замінити таким виразом, щоб і корінь добувся і інтеграл звівся до табличного. чимось нагадує , а це, дорівнює , а тому застосовуємо тригонометричну підстановку (можна x=cost)}= =

= . Тепер повернемось від змінної t до змінної х. Для цього прийдеться розв’язати простеньке тригонометричне рівняння: . Підставимо це, а також у відповідь .

2) =

= ={як і в попередньому прикладі, повертаючись до попередньої змінної, треба розв’язати рівняння , тут , а тому . Остаточно матимемо:

.