7.1. Итегрирующие преобразования Фурье, Лапласа и z-преобразования. Определения, свойства, применение при моделировании электро-схем.

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование Фурье функции f вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:

-преобразование Фурье дельта-функции

Теорема о свертке: если тогда где

Преобразование Фурье и сдвиг

Преобразование Фурье и растяжение .

П.Фурье Используется – в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и др. В обработке сигналов и связанных областях преобр. Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды (обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство). Свойства преобразования:

– Преобразования обратимы, причём обратное имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование;

– Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические.

– По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной называется функция комплексной переменной такая что:

Обратное преобразование Лапласа: Двустороннее преобразование Лапласа:

П. Лапласа – применяется в математике (операционное исчисление), физике и технике.

Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений с помощью п. Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.

Расчёт передаточных функций динамических систем (например аналоговых фильтров).

Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов: выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, а преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.

Расчёт электрических схем производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование X(z) дискретного временного сигнала x[n] задаётся как:

где n — целое, z — комплексное число.

где A — амплитуда, а — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда x[n] определена только для одностороннее Z-преобразование задаётся как:

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

где C — контур, охватывающий область сходимости X(z). Контур должен содержать все вычеты Положив в предыдущей формуле получим эквивалентное определение: