4. Моделювання процесів в складних медико-біологічних системах

Звернемося спочатку до якісного аналізу динамічної системи, що описується двома нелінійними диференціаль­ними рівняннями довільного вигляду:

(7.19)

Дослідимо стійкість стаціонарного стану такої системи, застосовуючи метод малих збурень і лінеаризації диферен­ціальних рівнянь. Для цієї мети представимо розв’язок у вигляді суми стаціонарних значень змінних х₀, у₀ і малих збурень  , :

х = х₀ +  , у = у₀ +  .

Лінеаризуючи систему диференціальних рівнянь, тобто залишаючи лише ті доданки, що містять перші степені малих збурень , , отримуємо

(7.20)

де коефіцієнти а, b, c, d пов’язані з похідними

Важливе значення в якісному аналізі поведінки дина­міч­них систем відіграє часова еволюція послідовних станів досліджуваної системи у вигляді траєкторії руху зображу­ючої точки у фазовому просторі х, у. Така траєкторія називається фазовим портретом, або фазовою кривою системи. В залежності від вигляду фазового портрету динамічні системи поділяються, як вже вказувалося раніше, на грубі та негрубі. “Грубі” системи – це системи, характер траєкторії яких у фазовому просторі зберігається при малих змінах похідних а, b, c, d. “Негрубі” системи – це такі, траєкторії яких відчувають достатньо різкі якісні зміни при малих варіаціях параметрів а, b, c, d.

Будемо шукати загальний розв’язок досліджуваної ди­на­­міч­ної системи поблизу її стаціонарного стану у вигляді

 = А ехр ( t),  = B ехр ( t).

Тоді

звідки маємо

А = аА + bB, B = cA + dB.

Ненульовий розв’язок даної алгебраїчної системи рів­нянь відносно коефіцієнтів А і В має місце лише при умові, що головний визначник рівний нулю:

,

або .

Звідси для коренів цього рівняння, яке зветься характеристичним, маємо

_{1, 2} = [( a + d)/2]  {[(a + d)²/4] – (ad – bc)}^1/2 .

Якщо корені не є кратними, то розв’язок системи може бути подано у такому вигляді:

(7.21)

Нехай корені ₁, ₂ – дійсні. Тоді особливі точки у відповідності з класифікацією Пуанкаре (див. табл. 7.4) являють собою вузли або сідла, а саме:

а) ₁ < 0, ₂ < 0 – стійкий вузол;

б) ₁ > 0, ₂ > 0 – нестійкий вузол;

в) ₁ > 0, ₂ < 0 або ₁ < 0, ₂ > 0 – особлива нестійка точка, яка називається “сідлом”;

г) якщо ₁, ₂ – комплексно-спряжені величини, тоді у систе­мі відбуваються коливання; особлива точка – фокус, причо­му, якщо Re_1,2 < 0 – стійкий фокус, якщо Re_1,2 > 0 – нестійкий фокус.

д) якщо Re = 0, то у системі відбуваються незатухаючі коливання; особлива точка – центр або граничний цикл. Зауважимо, що стійкий і нестійкий вузли, стійкий і нестій­кий фокуси, а також сідла характеризують “грубі” системи, тоді як граничний цикл (центр) – “негрубі”.

Як вже зазначалося, поблизу критичних (біфуркацій­них) точок малі зміни зовнішніх параметрів можуть при­звес­ти до якісних перебудов (біфуркацій) фазових портретів досліджуваних систем.

Розглянемо найбільш типові біфуркації:

1. Біфуркація з одного вузла (фокуса) в два вузла (фокуса).

За певних умов розв’язки, що відповідають стійкому вузлу (фокусу), можуть стати нестійкими і відбувається перехід у два нових стійких вузла. При відмінній від нуля уявній частині коренів характеристичного рівняння вузли перетворюються, очевидно, в фокуси.

2. Біфуркація Хопфа із фокуса в граничний цикл. Для цього випадку, вивченого вперше Хопфом, корені характе­ристич­ного рівняння є комплексно-спряженими числами

₁ = Re₁ + i Im₁ , ₂ = Re₂ – i Im₂.

При Re  0 корені наближаються до уявної вісі. У результаті первинно стійкий фокус перетворюється у граничний цикл, тобто у системі виникають періодичні в часі коливання.

3. Біфуркації граничного циклу. При подальшій зміні керуючих параметрів можуть відбутися нові перебудови фазових траєкторій системи, при яких можливі такі біфур­кації: а) старий граничний цикл переходить в новий один або більше граничних циклів у одній і тій самій площині; б) старий двовимірний граничний цикл перехо­дить у триви­мір­ний граничний цикл, до того ж у випадку незамкнутих траєкторій виникає рух зображуючої точки по поверхні тора; в) старий граничний цикл з періодом Т₁ переходить у новий, рухаючись по якому система повертається у початко­вий стан за час Т₂ = 2Т₁ (біфуркація подвоєння періоду).

4

Мал. 7.10. Фазовий портрет див­ного аттрактора.

. Дивні аттрактори. При зміні керуючих параметрів фазова траєкторія, що являє собою рух по то­ру, може ста­ти нестій­кою і хаотич­ною. У цьому випад­ку, який отри­мав на­зву дивного аттрак­тора, тра­екто­рії ру­ху зображуючої точ­ки у фазовій площині ста­ють недетермінова­ни­­ми (мал. 7.10). Якщо для простих аттракторів (стійких особли­вих точок і граничних циклів) усі фазові траєкторії стягу­ють­ся у близьке оточення цих точок або граничного циклу, то для дивного аттрактора усі фазові траєкторії розбіга­ються і хаотично перемішуються, залишаючись в області тяжіння дивного аттрактора.

Зручним методом аналізу стійкості фазових траєкторій є дослідження так званих показників Ляпунова. Не вдаючись у достатньо тонкі і складні математичні деталі, показники Ляпунова можна визначити як узагальнення показника степені у виразі для експоненціального в часі розв’язку  х(t), який характеризує диференціальне рівняння першого порядку довільного вигляду, а саме:

.

Кількість показників Ляпунова не повинна перевищу­вати розмірність простору, в якому задана шукана величина  x(t). Тоді виявляється можливим сформулювати такі кри­те­рії для простих і дивних аттракторів у термінах показни­ків Ляпунова (розглянемо для визначення тривимірний випадок):

а) якщо всі три показники Ляпунова від’ємні, то аттрак­тор – стійкий фокус;

б) якщо два показники від’ємні, а третій рівний нулю, то аттрактор – граничний цикл;

в) якщо один показник від’ємний, а два інші дорівню­ють нулю, то аттрактор – стійкий тор;

г) якщо один з показників Ляпунова виявляється додат­нім, то стає можливим хаотичний рух зображуючої точки. Так, при ₁  0, ₂ = 0, ₃  0 виникає дивний (хаотичний) аттрактор, до того ж фазові сусідні траєкторії швидко розхо­дяться при незначній зміні початкових умов. Одним з перших прикладів дивного аттрактора стала гідродинамічна (метеорологічна) модель Лоренца, розв’язки якої виявили хаотичне розбігання фазових траєкторій в силу ефектів турбулентності і неточності задання початкових умов. Зауважимо, що при ₁  0, ₂ = ₃ = 0 або при ₁  0, ₂  0, ₃ = 0 фазові портрети системи є відповідно нестійкий тор або нестійкий граничний цикл, які не є аттракторами.

Для встановлення універсальних закономірностей в самоорганізованих системах, які мають різні геометричні розмі­ри, розуміння ролі їх спонтанного ускладнення, наяв­ності в них просторово корельованих областей широко за­лу­чаються методи кінетичних моделей, які були покла­дені в осно­ву сучасної теорії дисипативних структур (І.Р. При­гожин, Г. Ніколіс, П. Гленсдорф та інші).

В якості конкретного прикладу кінетичної моделі розгля­немо відому модель “хижак-жертва”, яку запропо­ну­вали А. Лотка і В. Вольтера. Система нелінійних диференціальних рівнянь цієї моделі має вигляд:

(7.21)

Перше рівняння описує динаміку чисельності першого типу тварин – “жертв“ (наприклад, зайців), які живляться рослинами. Перший доданок у правій частині цього рівнян­ня описує природне розмноження жертв, тоді як другий – їх зменшення від зустрічей з “хижаками“ (напри­клад, рисями). Друге рівняння характеризує динаміку зміни чисельності хижаків: перший доданок у правій частині задає збільшення хижаків, які живляться жертвами, а другий – природне зменшення жертв при відсутності цієї їжі.

Проведемо аналіз моделі “хижак-жертва“. Стаціонар­ний розв’язок моделі визначається з наступної системи рівнянь:

(7.22)

Лінеаризація рівнянь системи (7.21) поблизу стаціонар­ного розв’язку дає

(7.23)

Шукаючи розв’язок цієї системи у вигляді

ζ = А ехр ( t),  = B exp ( t), (7.24)

отримуємо характеристичне рівняння:

,

або

² + ₁₂ = 0,

звідки отримуємо шукані корені

_1,2 = і (₁₂)^1/2. (7.25)

Таким чином, у відповідності до класифікації особли­вих точок по А. Пуанкаре отримана особлива точка в моделі “хижак-жертва“ є центр (або граничний цикл). Фазові криві являють собою замкнуті траєкторії.

Оскільки для малих збурень ζ(t) і (t) мають місце співвідношення вигляду

(7.26)

то цей результат відображає те, що ми спостерігаємо в реаль­них умовах, тобто експериментально, а саме: періо­дич­ну зміну чисельності популяцій хижаків і жертв (див. мал. 7.11).

Мал. 7.11. Періодична зміна чисельності популяції в екологічній системі “хижак(рисі) - жертва (зайці)” за даними “Хадсон-Бей” (з книги Г. Хакена “Синергетика”).

Недолік розглянутої вище моделі Лотка-Вольтерра – її “негрубість“. Іншими словами, випадкові зміни чисельності одного з видів змінюють амплітуди коливань кожного виду. В реальності такого не спостерігається. Покращання моделі Лотка-Вольтерра пов’язане з врахуванням самообмежень в зростанні чисельності обох популяцій, що описується вве­ден­ням останніх (третіх) доданків в рівняння моделі

(7.27)

Дослідження особливих точок для такої покращаної моделі показує, що якщо при ₁₁ = ₂₂ = 0 особлива точка являла собою центр або граничний цикл (негруба система), то при ₁₁  0, ₂₂  0 особлива точка є вже стійкий фокус або стійкий вузол, тобто система стає грубою.

Ще одним популярним прикладом кінетичних моделей процесів самоорганізації, як вже відзначалося, є модель “брюселятора“ (Пригожин, Ніколіс, Лефевр), яка описує хімічний автокаталітичний процес. Близька до “брюселя­тора“ кінетична модель “орегонатора“ була запро­понована і досліджена Філдом і Ноейсом. Зокре­ма, модель “орегона­то­ра“ описує автохвильові процеси, які виникають в періодич­ній окисно-відновній реакції Бєлоу­сова-Жаботинського.