3.2 Математическая модель построения интеллектуального материала

Нельзя допустить чтобы построение интеллектуального материала, его самосборка происходила произвольно, случайным образом. Во-первых ячейка должна иметь определенную структуру. Во-вторых сам рост материала должен иметь определенную конфигурацию там, где это необходимо. Теоретически представить это в реальности позволяет теория фракталов.

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Масштабная инвариантность, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Первоначально теория фракталов создавалась в эпоху развития компьютеров. Пользователю требовалось ввести только одну команду, компьютер разложил бы ее на более простые и выполнил уже их.

Модель выглядит так. Задает алфавит произвольный набор символов. Выделяет одно начальное слово, называемое аксиомой. Можно считать, что оно соответствует исходному состоянию организма – зародышу, а потом описывают правило замены каждого символа алфавита определенным набором символов, то есть задает закон развития зародыша. Далее прочитываем по порядку каждый символ аксиомы и заменяем его на слово, указанное в правиле замены. Таким образом, прочитав аксиому один раз, мы получаем новую строку символов, к которой снова применяем ту же процедуру. Шаг за шагом возникает все более длинная строка – каждый из таких шагов можно считать одной из последовательных стадий развития организма. Ограничив число шагов определяем, когда развитие считается законченным.

Основные свойства фракталов:

• Они имеют тонкую структуру, т. е. содержат произвольно малые масштабы.

• Они слишком нерегулярны, чтобы быть описанными на традиционном геометрическом языке.

• Они имеют некоторую форму самоподобия, допуская приближённую.

• Они имеют дробную "фрактальную" размерность, называемую также размерностью Минковского.

Существует несколько видов фракталов [8]

Для описания самосборки интеллектуального материала наиболее подходящим является алгебраический фрактал.

Д ля построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.

Наиболее изучен двухмерный случай. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно в него перейдёт. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

Е сли фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами.

Примерами является алгебраическая модель фрактала Мандельброта. Графически она реализуется следующим образом. Начальная точка модели равна нулю. Графически она соответствует центру тела «груши» через N шагов заполняется все тело «груши» и в том месте, где закончилось выполнение последнего шага начинает образовываться «голова» фрактала. Затем опять через N шагов у тела образуется почка и так далее. Чем больше заданное

число шагов, тем более детальным получится

Рис.14 Фрактал Мандельброта

изображение фрактала. Можно создать фрактал, где начальная точка может располагаться в разных местах.

Таким образом, благодаря теории фракталов можно построить модель самособирающегося материала. Она позволяет рассчитать скорость роста самособирающегося атериала.

В приложении № 1 представлена компьютерная программа самосборки материала для защитного сооружения.