6.3. Кинетический момент механической системы относительно центра и оси

Кинетическим моментом или главным моментом количеств движения механической системы относительно некоторого неподвижного центра называется вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этого центра (рис. 3.39).

.

Кинетическим моментом или главным моментом количеств дви­жения механической системы относительно оси называется алгебра­ическая сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этой оси (рис. 3.40).

.

Рис. 3.39 Рис. 3.40

Кинетические моменты механической системы относительно некоторого центра О и какой-либо оси z, проходящей через этот центр, связаны такой же зависимостью.

.

6.4. Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси

Производная по времени от кинети­ческого момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра:

. (3.17)

Векторному равенству (3.17) соответствуют три равенства в про­екциях на оси координат:

(3.18)

где – кинетические моменты механи­ческой системы относительно осей координат, а – главные моменты внешних сил относительно этих осей.

Равенство (3.18) выражает теорему кинетических моментов относительно оси: производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равна главному моменту внешних сил, действующих на систему относительно этой оси.

С л е д с т в и е 1. Если главный момент внешних сил относительно данного центра равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным.

С л е д с т в и е 2. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается постоянным.

Следствия из теорем выражают закон сохранения кинетического момента механической системы.

Задача 3.13. Однородный круглый диск весом Р = 50 кг и радиуса R = 30 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая вокруг своей оси 60 об/мин. Вычислить главный момент количества движения диска относительно осей, проходящий через центр диска перпендикулярно к плоскости движения, и относительно мгновенной оси (рис. 3.41).

Решение.

.

Рис. 3.41

Глава 7. Динамика твердого тела

7.1. Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении твердого тела все его точки дви­жутся так же, как и его центр масс. Поэтому дифференциальные урав­нения движения центра масс тела являются дифференциаль­ными уравнениями поступательного движения твердого тела:

,

где т – масса тела; x_c,y_c,z_c – координаты центра масс тела; – проекции внешней силы на оси координат; – проекции главного вектора внешних сил на эти оси.