42.Точки разрыва

1) разрывна в т. если она не явл. непрерывной в этой т.

2)Если разрывна в т. и если сущ-ет конечное знач-ие и , то говорят, что имеет в разрыв 1рода,в противном случае он наз разрывом 2 рода.

Разновидности разрыва 1 рода

≠ разрыв типа конечного скачка

Скачёк ф= -

2) = ≠ устранимый разрыв

Устранение разрыва: значение ф в т. полагаем=lim

Разновидности разрывов 2рода

1)один из пределов бесконечный = или или = бесконечный разрыв

2)Хотя бы один из односторонних пределов не сущ-ет

у= чем ближе к 0 тем чаще колебания

в 0 значения не определено

Пр1 у=arctg1/x

Ф непрерывна во всех т кроме 0

= =

= =

= -скачёк ф

Пр2 ф-я «антье от х» у=

В т.х=К К

f(K+0)= =К =f(K)

разрыв 1рода

Пр3 у=1/х-1

Ф непрерывна во всех т кроме 1

= =+

= =-

разрыв 2 рода

43.Св-ва непрерывных функций

1 теорема Вейерштрасса

Если f: [a,b]→𝑅 непрерывна на [a,b],то она ограниченна

2 теорема Вейерштрасса

Если f: [a,b]→𝑅 непрерывна на [a,b],то она достягает на этом сегменте своего наим и наиб значения.

1теорема Коши для непрерывных функций

Пусть f: [a,b]→𝑅 непрерывна на [a,b] и принимает на концах сегмента значения разных знаков.Это означает, что f(a)f(b)<0,тогда сущ-ет т.С такая что f(с)=0

Такая кривая пересечёт ось х хотя бы в одной т.

2теорема Коши для непрерывных функций

Пусть f: [a,b]→𝑅 непрерывна на [a,b] и на его концах принимает неравные значения f(a)=А; f(в)=В

Пусть С-л.ч. заключённое между А и В тогда на [a,b]найдётся т.С, такая что f(с)=С др словами непрерывная ф-я при переходе от одного человека к др принимает все промежуточные значения

f(a)<C< f(в)

сущ-ет т.С, что f(с)=С

с

Дифференцирование одного переменного

44.Определение производных

Опр. f: (a,b)→𝑅 ф действительного переменного

Взяв произвольную т. (а,в) составим отн:

где а<x<b,x≠

УтвА. наз производным в т.

УтвБ. ( наз провосторонней произв

УтвВ. ( наз левосторонней произв

УтвГ.если один из пределов А,Б,В= ,то соотв производная наз бесконечной произв.

УтвД.если f: [a,b]→𝑅 то в конечных т. [a,b]необх и достаточно чтобы сущ-али равные односторонние произв в т.

( ( ): ( (

Пр1f(x)=

= = =

Пр2.f(x)=│ x=1 x=2

( = = ( = -

( ≠ ( произв не сущ-ет ( ≠ ( произв не сущ-ет

Пр3. если сущ-ет,то =

Зам-ие:∆х=х- , ∆f( =f(x)-f( )=f( +∆x)-f( ,тогд опр произв:

f( = , ( = , ( =

45.Геометрический смысл производной

Опр1.Кривая l наз ориентированной кривой если на ней задан обход. Если при обходе т.М следует за т. ,то будем говорить,что М нах справа от .Если при обходе т.М предшествует т. , то будем говорить,что м нах слева.Если кривая в явном виде у(х), то напр обхода задаётся направлением возрастания х

Если кривая задана параметрически ,то напр обхода задеется возрастанием t

Опр2.Пусть -любая т ориентированная кривой l,лежащая справа от т и -любая т ориентированная кривой l,лежащая слева от М

Рассмотрим секущие

УтвА.Правосторонней касательной l в т наз предельное положение секущей ,когда т стремиться вдоль по кривой к т ,оставаясь справа от т

УтвБ.Левовосторонней касательной l в т наз предельное положение секущей ,когда т стремиться вдоль по кривой к т ,оставаясь слева от т

УтвВ.Если левостороннее и правостороннее касание в т совп, то такая прямая наз касательной (l)в т

УтвГ.Если левостороннее и правостороннее касание в т не совп, то наз угловой т.

Пусть f: (a,b)→𝑅 ,в т (а,в)сущ-ет ,тогда:tg , ∆x→0,то секущая становится касательной,то tg =

Производная ф в точке-это tg угла наклона касательной в т

-это tg угла наклона правосторонней и левосторонней ⦟касания.

Если бесконечные произв, то соотв касательные ║ оси ОУ

У=f( =K(x- )ур-е прямой,проходящей через т.

К=

у=f( )+ (x- )ур-е касательной,проходящей через т

Опр3.Прямая линия ┴к касательной в т( ,f( )) и проходящая через т. наз нормалью кривой у= f( ) в т( ,f( ))

,тогда если =0,ур-е нормали зап: у= f( )=