2. Перевод чисел в позиционных системах счисления.

Числа в этих системах требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

восьмеричная		шестнадцатеричная		2n
цифра	двоичный код	цифра	двоичный код
1	001	1	0001	20 =1
2	010	2	0010	21 =2
3	011	3	0011	22 =4
4	100	4	0100	23 =8
5	101	5	0101	24 =16
6	110	6	0110	25 =32
7	111	7	0111	26 =64
		8	1000	27 =128
		9	1001	28 =256
		A	1010	29 =512
		B	1011	210 =1024
		C	1100	211 =2048
		D	1101
		E	1110
		F	1111

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему: каждую цифру заменяемь эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Пример:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на  триады  (для восьмеричной) или  тетрады  (для шестнадцатеричной)  и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример:

Для перевода целого десятичного числа  N  в систему счисления с основанием  q  необходимо делить  N  с остатком ("нацело") на  q до тех пор, пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N  в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, записанных в порядке, обратном порядку их получения.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

75 : 2 = 37 (ост. 1) 37 : 2 = 18 (ост. 1) 18 : 2 = 9 (ост. 0) 9 : 2 = 4 (ост. 1) 4 : 2 = 2 (ост.0) 2 : 2 = 1 (ост. 0) 1 : 2 = 0 (ост. 1)

75 : 8 =9 (ост. 3) 9 : 8 = 1 (ост. 1) 1 : 8 = 0 (ост. 1)

75 : 16 = 4 (ост .B) 4 : 16 = 0 (ост. 4)

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂   =  113₈  =  4B₁₆.

Для перевода правильной десятичной дроби  F  в систему счисления с основанием  q  необходимо  F  умножить на  q , затем дробные части полученных произведений снова умножать на  q, до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. Представлением дробной части числа F   в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения.

Пример. Переведем число 0,34 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

0,34 ∙ 2 = 0,68 (0) 0,68 ∙ 2 = 1, 36 (1) 0,36 ∙ 2 = 0,72 (0) 0,72 ∙ 2 = 1,44 (1) 0,44 ∙ 2 = 0,88 (0) 0,88 ∙ 2 = 1,76 (1)

0,34 ∙8 = 2,72 (2) 0,72 ∙ 8 = 5,76 (5) 0,76 ∙ 8 = 6,08 (6)

0,34 ∙ 16 = 5,44 (5) 0,44 ∙ 16 = 7,04 (7)

0,34₁₀ = 0,010101₂ = 0,256₈ = 0,57₁₆

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.