Случайные величины

Основные умения: находить характеристики случайных величин; применять законы распределения случайных величин к решению профессиональных задач.

Понятие случайной величины

Случайной величиной (СВ) называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных, зависящих от случая.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной СВ.

Закон распределения случайных величин

Законом распределения дискретной СВ называется соответствие между значения x₁, x₂, …, x_n этой величины и их вероятностями р₁, р₂, … р_n. Закон распределения дискретной СВ может быть задан таблично или аналитически (то есть с помощью формул).

Х	х1	х2	…	хn-1	хn
Р	р1	р2	…	рn-1	рn

где x₁, x₂, …, x_n – случайные величины, соответствующие полной группе событий: р₁+р₂+…+ р_n = 1.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

.

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: D(X) = M [(X – M(X))²]. Вычисления удобней производить по формуле: D(X) = M(X²) – M²(X).

Средним квадратическим отклонением (Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии: .

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 – р. Найдем вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит т раз (m  n).

Формула Бернулли:

Закон биномиального распределения

Х	0	1	…	m	…	n
р	qn	npqn-1		Cnmpmqn-m		pn

Пример 1: Пусть всхожесть семян определенного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех. Напишите в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – всхожесть семян.

Решение. а) в данном случае n = 4; m = 3; p = 0,9; q = 1 – p; q = 0,1. Применяя формулу Бернулли, получим:

б) искомое событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей получим:

=0,9477

Закон распределения:

n = 4; p = 0,9; q = 0,1:

для m = 0 (семена не прорастут) P₄(0)=qⁿ=(0,1)⁴=0,0001;

для m = 1 (прорастет 1 семя) P₄(1)=npq^n-1=40,9(0,1)³=0,0036;

для m = 2 P₄(2)=С₄² pq^n-1=6(0,9)²(0,1)²=60,810,01=0,0486;

для m = 3 P₄(3)= 0,2916;

для m = 4 (прорастут все семена) P₄(4)=0,6561.

Х	0	1	2	3	4
P	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

Проверка: 0,0001+0,0036+0,0486+0,2916+0,6561=1.

В MS Excel функция БИНОМРАСП применяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом тестов или испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех или неудача.

Функция использует следующие параметры:

БИНОМРАСП (число_успехов; число_испытаний; вероятностъ_успеха; интегральная), где

число_успехов – количество успешных испытаний;

число_испытаний – число независимых испытаний (число успехов и число испытаний должны быть целыми числами);

вероятность_ успеха – вероятность успеха каждого испытания;

интегральная – логическое значение, определяющее вид функции:

если параметр имеет значение ИСТИНА (=1), то считается интегральная функция распределения (вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения число_ успехов);

если параметр имеет значение ЛОЖЬ (=0), то вычисляется значение функ­ции плотности распределения (вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргумента число_ успехов).

Пример 2: Какова вероятность того, что

а) трое из четырех новорож­денных будут мальчиками?

б) не более трех из четырех новорожденных будут мальчиками?

Решение.

1. Устанавливаем табличный курсор в свободную ячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение искомой вероятности.

2. Для получения значения вероятности воспользуемся функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции f_x.

3. В появившемся диалоговом окне Мастер функций – шаг 1 из 2 слева в поле Катего­рия указаны виды функций. Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию БИНОМРАСП и нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окно функции. В поле Число_s вводим с клавиатуры количество успешных испытаний (3). В поле Испытания вво­дим с клавиатуры общее количество испытаний (4). В рабочее поле Вероятность_s вводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании (0,5). В поле Интегральная вводим с клавиатуры вид функции распределения – интегральная (0). Нажимаем на кнопку ОК.

а) в ячейке А1 появляется искомое значение вероятности р = 0,25. Ровно 3 мальчика из 4 новорожденных могут появиться с вероят­ностью 0,25.

б) Если выяснить вероятность того, что появится не менее трех мальчиков, то в этом случае в рабочее поле Интегральная вводим 1 (вид функции распределения интегральная). Вероятность этого события будет равна 0,9375.