Методы численного интегрирования

Задача численного интегрирования ставится так. Задан массив значений x_i функции x(t), измеренных при значениях t_i аргумента, заданных другим массивом. Нужно вычислить интеграл от x(t) в этом диапазоне. Очевидно, эту задачу можно решить только при условии проведения через заданные точки непрерывной кривой. Только в этом случае задача поиска интеграла становится определенной.

Большинство численных методов интегрирования функции опираются на идею замены подынтегральной функции x(t) некоторой приближающей её функцией Х(t), интеграл от которой вычисляется достаточно легко. Приближение обычно осуществляется интерполированием в пределах заданного диапазона изменения аргумента. Будем считать, что функция x(t) задана массивом своих значений x_i в n равноудаленных точках диапазона изменения аргумента t от a до b так, что h = (b – a) / (n – 1) есть шагом задания функции (одновременно это является шагом интегрирования). На рис. 2.3 приведено графическое представление такой функции.

Рисунок 2.2 – Графическое представление табличной функции

Метод правых прямоугольников

Этот самый простой метод численного интегрирования основан на том, что на каждом шаге интегрирования функция x(t) изменяется на постоянную величину, равную значению x_i на левом конце соответствующего интервала. В связи с этим интеграл от функции x(t) на этом интервале можно геометрически представить как площадь прямоугольника (рис. 2.3), который справа примыкает к заданной кривой и вычислить по формуле:

(2.1)

Второй член формулы представляет оценку ошибки метода интегрирования (ξ – некоторое значение аргумента в середине интервала). Суммируя результаты интегрирования по отдельным шагам, получим общую формулу:

(2.2)

Т.е. для определения полного интеграла при помощи метода правых прямоугольников достаточно просуммировать все заданные значения функции, кроме последнего, и результат умножить на шаг интегрирования. Уменьшая величину шага интегрирования, можно существенно уменьшить ошибку определения интеграла.

Метод левых прямоугольников

Сущность этого метода аналогична, за исключением того, что аппроксимирующие прямоугольники теперь примыкают слева (рис. 2.4) к заданным точкам. Соответствующие формулы численного интегрирования принимают вид:

(2.3)

(2.4)

Рисунок 2.3 – Метод правых прямоугольников

Рисунок 2.4 – Метод левых прямоугольников

Метод трапеций

Формулы этого метода:

(2.5)

(2.6)

Графическая интерполяция: при интегрировании этим методом вычисляются площади (рис. 2.5) трапеций, которые образуются, если соединить отдельные заданные точки отрезками прямых, т.е. при линейной интерполяции.

Рисунок 2.5 – Метод трапеций

Метод Симпсона

Поделим интервал интегрирования [a; b] на четное количество k равных частей так, чтобы общее количество точек n = 2k – 1 было нечетным, а шаг интегрирования будет равен h = (b – a) / (n – 1) = (b – a) / 2(k – 1).

На каждом из интервалов (i = 1, 3, 5, … n–2) интерполируем заданные точки квадратной параболой:

(2.7)

Интегрируя эту функцию в интервале , получим формулу Симпсона для отдельного участка:

(2.8)

Суммируя этот результат по всем отрезкам, придем к квадратурной формуле Симпсона:

(2.9)

Показатель степени в зависимости ошибки от шага интегрирования принято называть порядком метода интегрирования.

Рисунок 2.6 – Метод Симпсона

В системе MATLAB существуют три встроенные функции, которые осуществляют численное интегрирование функций – trapz, quad и quad8.

Процедура trapz осуществляет вычисление площади под графиком функции y(x) в случае, когда функция представлена в виде двух массивов: x – значения аргумента в возрастающем порядке, y – соответствующие значения функции при этих значениях аргумента.

>> I = trapz(x, y)

Функция quad использует квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Функция quad8 использует более точные формулы 8-го порядка.