11.Математические модели расчета надежности с использованием теории марковских процессов.

Модель задается в виде состояний, в ктр система может находиться, и возможных переходов из оного состояния в другое. При представлении ИС с помощью данной модели исп-ся теория марковских процессовв в том случае, если нахождение системы не зависит от того, в каком состоянии находилась ИС в прошлом.

вероятностный граф состояний системы имеет следующие состояния: работают оба эл-та системы; отказ одного из жл-в; отказ 2 эл-в

Если заданы вер-ти перехода системы из состояния i в состояние j, то можно опр-ть вер-ти нахождения системы в i-м состоянии Pi(t) и показатели надежности, составляя и решая ур-е Колмогорова-Смирнова. Производная от вер-ти нахождения системы в i-м состоянии равна алгеб-ой сумме произведений интенсивностей перехода на вер-ти соответствующих состояний. Тем произведениям, ктр соответствуют уходящие из данного состояния стрелки, приписывают -, иначе +

12.Топологический метод расчета надежности.

Метод основан на использовании мат аппарата марковскиз процев (вер-ть находжения системы в каком-либо состоянии в будущем не зависит от прошлых состояний системы)

X - мн-во состояний системы

Разобьем его на 2подмн-ва: работоспособные состояния системы Xp и неработоспособные X(с чертой)p

Нахождение системы в том или ином состоянии обусловливает случайный проц X(t) перехода системы в пространстве ее состояний. X(t) также называют траеторией системы.

представим X(t) в виде вероятностного графа состояний G(X,W), X- вершины, W - мн-во дуг, соединяющих вершины графа, Pi(t) - вер-ти нахождения системы в i-м состоянии, d(wij) - вес дуги, альфа ij - интенсивность перехода из состояния i в состояние j, d(wij)=альфаij

Если заданы лльфаij то, составляя и решая систему ур-ий колмогорова, можно опр-ть вер-ти нахождения системы в i-м состоянии Pi(t) => показатели надежности. Но это трудоемко, поэтому применяют топологический метод.

Он исп-ет аппарат теории графов применительно к решению задачи надежности.

Определения:

Прямой путь lij из вершины xi в xj - цепь последовательно соединенных однонаправленных дуг, где кжд вершина имеет одну входящую и одну выходящую дуги, за искл начальной и конечной. вес k-го прямого пути рис 20.1

Замкнутый контур r - прямой путь, на ктр начальная и конечная вершины совпадают. Вес - d(r)=П d(wij) Частным случаем - петля. Ее вес d(wij)=-сумма d(wij)

Соединение графа S - частичный граф, ктр образует только замкнутые контуры. Представляет соой все вершины, нктр дуги и петли исх графа, ктр составляют независимые замкнутые контуры (нет общих вершин) Кжд вершина графа G(X,W) имеет петлю. Вес j-го соединения d(Sj)=(-1)^ню П d(r), где ню - число независимых замкн контуров.

Определитель графа , где S - vy-dj всех возможных соединений графа.

Методика расчета показателей надежности.

Опр-им коэффициент Ci (по графу):

выбрать нач вершину отдельно для опр-ия кжд Ci. Можно выбрать произвольно.

Строим мн-во К прямых путей из нач верш в верш xi для ктр опр-ем С

для кжд k-го прямого пути строим мн-во замкн контуров подграфа G(Xk) (из G(X,W) удалением мн-ва вершин входящих в k-й путь и прилегающих к нему дуг) и образуем возможные комбинации независимых замкн контуров

Записываем коэф Ci:

Находим вер-ти: Pi=Сi/сумма(от j=1 до n) Cj

коэф-т готовности: Кг=сумма (по i принадлежащему lp)Ci/ сумма по j Cj

коэф-т простоя Кп= сумма (по i принадлежащих J) Ci/ сумма по j Cj, О - неработоспособные состояния

Средняя наработка на отказ: рис 20.2, где I+p - граничные состояния из Xp, из ктр в неработоспосоное состояние можно попасть за 1 переход

Среднее время восстановления: формула акуеть - нефиг и писать!!!