27. Текущая стоимость обычной годовой ренты.

Начнем с самого простого случая — годовой ренты постнумерандо, член которой равен R, срок ренты n; ежегодное дисконтирование. Рента немедленная. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна Rv, второго — Rv², последнего — Rvⁿ. Как видим, эти величины образуют ряд, следующий геометрической прогрессии, с первым членом Rv и знаменателем v. Обозначим сумму членов этой прогрессии как А. Найдем ее:

(4.14)

Назовем множитель, на который умножается R, коэффициентом приведения ренты, обозначим его как a_n;i. Этот коэффициент характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1. Чем выше значение i, тем меньше величина коэффициента. При увеличении срока ренты величина a_n;i стремится к некоторому пределу. При п = предельное значение коэффициента составит

29.Зависимость между текущей стоимостью и наращенной суммы ренты. В параграфе 4.1 показана зависимость между A и S y произвольного потока платежей — см. формулу (4.3). Для годовых и p-срочных постоянных рент постнумерандо с ежегодным начислением процентов находим:

Аналогичным образом получим:

Svⁿ=A.

Для рент с начислением процентов m раз в году имеем:

A(i +j/m)^mn = S; (4.22)

S(i+j/m)^-mn=A. (4.23)

Нетрудно догадаться, что в аналогичной зависимости находятся и соответствующие коэффициенты. В частности:

a_n;i(¹ +i)ⁿ=s_n;i; s_n;ivⁿ = a_n;i.

30.Определение параметров финансовой ренты.

Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости A остальных параметров ренты: R, n, i, p, m. Такие параметры как m и p обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i. Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон.

Определение размера ежегодной суммы платежа R

В зависимости от того какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана S или A, возможны два варианта расчета

R=S/s_n;i (1.15)

или

R=A/a_n;i. (1.16)

Определение срока постоянной ренты

Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Решая исходные формулы для S и A

iin=+−()1 1 SR и ARiin=−+−11()

относительно срока n, получаем соответственно следующие два выражения

nSRii=++lnln()11 и nARii=−−+lnln()11 (1.17)

Последнее выражение, очевидно, имеет смысл только при R>Ai.

Определение ставки процентов

Для того, чтобы найти ставку i, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида

SRiin=+−()1 1 или ARiin=−+−11(),

которые эквивалентны двум другим

();11+−==iiSRsnni или 11−+==−();iiARanni (1.18)