Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма

Решение ряда вопросов значительно облегчается, если изображать колебания в виде вектора на плоскости (векторная диаграмма). Из точки O числовой оси x отложим вектор длины a под углом . Если привести его во вращение с угловой скоростью ₀, то проекция этого вектора будет изменяться со временем по закону

.

Сложение колебаний одинакового направления

Пусть тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, проходящих вдоль одного направления, с одинаковой частотой. Представим оба колебания с помощью векторов.

Результирующий вектор также вращается с той же частотой. Смещение x будет суммой смещений. Амплитуда по теореме косинусов будет равна

.

Нетрудно рассчитать и фазу результирующего колебания

.

Итак, сложение гармонических колебаний можно свести к операции сложения векторов.

Биения

Два складываемых колебания мало различаются по частоте ( и +). Можно показать, что результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. В простейшем случае равенства амплитуд для вычисления суммы колебаний воспользуемся известной тригонометрической формулой

и получим выражение:

.

На графике такое результирующее колебание выглядит так, как показано ниже.

.

Видно, что это колебания с частотой , причем их амплитуда изменяется с частотой  (учли, что оба полупериода функции графически неразличимы). Период изменений амплитуды соответственно равен . Такие колебания называют биениями.