4. Свободные колебания в колебательном контуре

Контур образован заряженным конденсатором емкости C и катушкой индуктивности L. Общее сопротивление проводников контура равно R.

В процессе разряда конденсатора в контуре возникает ЭДС самоиндукции E_s. По закону Ома для полной цепи

(1) ,

где , а . После подстановки этих выражений в (1) получим дифференциальное уравнение

.

По определению сила тока равна , а .

.

В частном случае, когда сопротивление контура R равно нулю, уравнение принимает более простой вид:

.

Из полученного дифференциального уравнения видно, что заряд Q совершает гармонические колебания с угловой частотой .

Данное дифференциальное уравнение можно осуществить переход от заряда к силе тока, произведя замену , :

.

Продифференцировав это уравнение почленно по времени и учтя, что производная константы равна нулю, получим:

.

Последнее дифференциальное уравнение показывает, что сила тока в колебательном контуре также колеблется по гармоническому закону.

Итак, видим: все рассмотренные движения задаются одним дифференциальным уравнением и, значит, являются гармоническими колебаниями.

Колебательная система, движение которой описывается дифференциальным уравнением

,

называется гармоническим осциллятором.

Ангармонический осциллятор

Нельзя не заметить, что в некоторых из рассмотренных нами примерах колебания удовлетворяют данному дифференциальному уравнению приближенно. Действительно, для механических осцилляторов нами сделано допущение о малости угла отклонения, когда уместна замена . То же в пружинном маятнике: отклонение не может быть как угодно большим, оно ограничено предельно допустимым сжатием пружины и границами применимости закона Гука.

При этом уравнение, описы­вающее колебательную систему, является линейным, колебание — гармоническим, а период ко­лебаний не зависит от амплитуды), это свойство гармонического осциллятора называют изохронностью).

В случае достаточно большого отклонения равновесия уравнение, описывающее процесс колебаний, оказывается в общем случае нелинейным, колебательный процесс уже не является гармоническим, а система теряет свойство изохронности: период колебаний оказывается зави­сящим от амплитуды (то есть от величины начального отклонения и (или) начальной скорости). В рассмотрение вводят ангармонические колебания и ангармонический осциллятор.

В качестве примера такой системы рассмотрим математический маятник. Если угол от­клонения маятника от положения равновесия не полагать малым, то уравнение, описывающее процесс колебания, нелинейно:

(5) .

В случае гармонического осциллятора мы пользовались приближением .

Исследование нелинейных систем (в частности, системы, описываемой уравнением (1)) представляет собой чрезвычайно математическую проблему. Рассмотрим, не прибегая к слож­ным математическим методам, лишь одну проблему: зависимость периода колебаний от ампли­туды. При том ограничимся приближением:

, (6)

представляющим собой первые два члена разложения функции в ряд Маклорена.

Понятно, что учет слагаемого приводит к уменьшению величины возвращающей силы: по сравнению с линейной зависимостью ; следова­тельно, к уменьшению ускорения и скорости, а значит и к росту периода колебаний при увеличении амплитуды.

Колебательный контур, в катушку индуктивности которого вставлен железный сердечник, также представляет собой ангармонический осциллятор: при больших амплитудах (большом токе через катушку) индуктивность начинает зависеть от величины тока, при этом магнитный поток через катушку уже не является линейной функцией величины тока.

Отклонение от линейности обычно описывается функцией , где константы и определяются параметрами контура. Зависимость тока в контуре от величины потока совершенно подобна в этом случае зависимости возвращающей силы от угла отклонения математического маятника , поэтому период колебаний увеличивается с ростом амплитуды.

(7)