Колебательные процессы

Колебанием называется движение, совершаемое с периодическими повторениями. Колебание происходит около равновесного положения тела, системы. Разумеется, речь идет о положении устойчивого равновесия. При отклонении от него система стремится вернуться.

Пружинный маятник, математический маятник, физический маятник. Не ограничиваясь механическим движением, можно говорить о колебаниях электрического тока и других колебательных процессах, охватывающих самый широкий круг физических явлений.

Колебания, совершаемые по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

(1)

или ,

где x — координата тела; A — амплитуда колебаний (максимальное отклонение); аргумент =t+₀ называют фазой колебаний; ₀ начальная фаза. В общем случае параметр ₀ является произвольной постоянной. Произвол в выборе этого параметра делает равносильными обе формулы.

В силу периодичности тригонометрических функций тело проходит одно и то же положение при изменении фазы  на 2, т. е. . Временной промежуток T, соответствующий этому изменению фазы называют периодом колебаний. Увеличение фазы на 2 равносильно увеличению времени на T:

 , .

Величина =1/T есть количество колебаний в единицу времени. Она называется частотой колебаний. Коэффициент  — называется циклической или угловой частотой колебаний. Угловая частота связана с частотой соотношением: =2.

Дифференцируя (1), найдем скорость тела

(2) ,

ускорение

(3) .

Сопоставляя (1) и (3), получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(4) .

Можно сделать заключение. Всякое движение, подчиняющееся уравнению (4) является гармоническим колебанием. Решением данного дифференциального уравнения является функция , зависимости смещения от времени.

Рассмотрим часто встречающиеся колебательные процессы.

1. Пружинный маятник

Составим уравнения колебаний пружинного маятника

или .

Из сопоставления с дифференциальным уравнением (4) видно, что это уравнение гармонических колебаний, если принять .

Тогда параметры колебаний: угловая частота ,

частота ,

период .

2. Движение математического маятника

Грузик подвешен на нити. Грузик будем считать материальной точкой, а нить – невесомой. Тогда вся масса системы сосредоточена в точке расположения грузика. Грузик отклонен от вертикального положения на угол . Длина дуги окружности от грузика до его равновесного положения и является смещением , где l – длина нити.

Возвращающая сила .

Такое приближение возможно при малых углах колебаний.

Иначе говоря, сила связана со смещением так: .

По второму закону динамики , следовательно

или .

.

Получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний, если принять . Тогда угловая частота . Найдем параметры: частота , период .

3. Движение физического маятника

Физический маятник имеет — тело, подвешенное на горизонтальной оси, на расстоянии l от его центра масс. Пусть момент инерции тела относительно оси равен J. Тогда вращающий момент силы:

.

По закону динамики вращательного движения . Приравняв правые части этих соотношений и сделав несложные преобразования, придем к дифференциальному уравнению

.

Видно, что это уравнение гармонических колебаний с параметрами

, .

Можно придать выражению периода вид, сходный с выражением для математического маятника

, где — приведенная длина физического маятника.