Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т.е.

2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:

3.Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю:

4.Сумма квадратов отклонений вариантов от средней меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой произвольной величины , т.е:

5. Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число , то средняя уменьшится на это же число :

6.Если все варианты ряда уменьшить или увеличить в раз, то средняя также уменьшится или увеличится в раз:

7.Если все частоты (веса) увеличить или уменьшить в раз, то средняя арифметическая не изменится:

11,Средняя геометрическая и средняя гармоническая.

Средняя геометрическая

Среднегеометрическая величина дает возможность сохранять в неизменном виде не сумму, а произведение индивидуальных значений данной величины. Ее можно определить по следующей формуле:

Среднегеометрические величины наиболее часто используются при анализе темпов роста экономических показателей.

Геометрическая простая

Для расчетов средней геометрической простой используется формула:

где:

• — цепной коэффициент роста

• — число этих коэффициентов роста

• П — знак произведения

• — количество уровней ряда

• — значение начального уровня ряда

• — значение конечного уровня ряда

Геометрическая взвешенная

Для определения средней геометрической взвешенной применяется формула:

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая — используется в тех случаях когда известны индивидуальные значения признака и произведение , а частоты неизвестны.

В примере ниже — урожайность известна, — площадь неизвестна (хотя её можно вычислить делением валового сбора зерновых на урожайность), — валовый сбор зерна известен.

Среднегармоническую величину можно определить по следующей формуле:

Формула средней гармонической:

Гармоническая простая

В тех случаях, когда произведение одинаково или равно 1 (z = 1) для расчета применяют среднюю гармоническую простую, вычисляемую по формуле:

Средняя гармоническая простая — показатель, обратный средней арифметической простой, исчисляемый из обратных значений признака.

12,Вариационные ряды распределения.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности непостоянны, более или менее различаются между собой.

13, Понятие вариации. Абсолютные показатели вариации.

Вариация - колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изу­чаемой совокупности, называют вариантами значений. Недостаточность средней величины для полной характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака.

 

Наличие вариации обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Эти факторы действуют с неодинаковой силой и в разных направлениях. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Задачи статистического изучения вариации:

1) изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности;

2) определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности.

В статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых изме­ряется вариация.

Исследование вариаций имеет важное значение. Измерение вариаций необходимо при проведении выборочного наблюдения, корреляционном и дисперсионном анализе и т. д.

По степени вариации можно судить об однородности совокупности, об устойчивости отдельных значений признаков и типичности средней. На их основе разрабатываются показатели тесноты связи между признаками, показатели оценки точности выборочного наблюдения.

Различают вариацию в пространстве и вариацию во времени.

Под вариацией в пространстве понимают колеблемость значений признака у единиц совокупности, представляющих отдельные территории. Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные периоды времени.

Для изучения вариации в рядах распределения проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда.

Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум - самое наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения (f_i). Частоты удобно заменять частостями – w_i. Частость - относительный показатель частоты, который может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Выражается формулой:

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности (R = Х_max- X_min). Этот показатель дает самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Зависимость от крайних значений признака придает размаху вариации неустойчивый, случайный характер.

Размах вариации не связан с частотами в вариационном ряду. т. е. с характером распределения. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних. Область применения этого показа-геля ограничена достаточно однородными совокупностями.

Для характеристики вариации признака нужно знать не только амплитуду (размах) его значений, но и уметь обобщить отклонения всех этих значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. В качестве такой величины используют среднюю арифметическую. Такие показатели вариации, пак среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. основаны на рассмотрении отклонений значений признака Отдельных единиц совокупности от средней арифметической.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

где d - среднее линейное отклонение;

| | - абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической;

f-частота.

Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая - в рядах с неравными частотами. Необходимость использования в формулах среднего линейного отклонения модулей отклонений вариантов от средней вызвана тем, что алгебраическая сумма этих отклонений равна нулю по свойствам средней арифметической. Среднее линей­ное отклонение показывает, насколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты.