12.2 Распределение давления при изотермном процессе

По уравнению состояния (1.9)  = . В этом случае основное дифференциальное уравнение (12.4) получит вид

dp = –  × g × dz = – × g × dz

или после разделения переменных

g × dz = – R × T × .

Интегрируя это уравнение при R  T = const, находим

g × (z₂ – z₁) = – R × T × (ln p₂ – ln p₁) = R × T × (ln p₁ – ln p₂) = R × T × .

Обозначая (z₂ – z₁) = h, где h – превышение интересующей нас точки 2 над точкой 1, то же уравнение запишем в виде

g × h = R × T × или g × z₁ + × ln p₁ = g × z₂ + × ln p₂. (12.7)

Давление газа по высоте с учётом его сжимаемости в изотермных условиях распределяется по логарифмическому закону.

Эта же зависимость может быть представлена в такой форме:

= или р₂ = р₁ × (12.8)

Отсюда видно, что изменение давления при изменении высоты следует экспоненциальному закону. При h → ∞ р → 0.

12.3 Распределение давления при политропном процессе

В этом случае из уравнения политропы (12.3)  = ₀ × . Делая подстановку в основное дифференциальное уравнение гидростатики(12.4), получим

dp = –  × g × dz = – ₀ × × g × dz,

откуда

dz = – × .

Интегрируя, получим

(z₂ – z₁) = × = × × =

= × .

Из уравнения политропы (12.3) можно записать

= и = .

С учётом этой записи предыдущее выражение принимает вид

(z₂ – z₁) = × = × .

Мы получили уравнение, которое определяет закон распределения давления при политропном процессе:

g × z₁ + × = g × z₂ + × (12.9, а)

или в более общей форме

g × z + × = g × z + × (12.9, б)

Для адиабатного процесса, заменяя показатель политропы n на показатель адиабаты k, имеем

g × z + × = g × z + × (12.10)

10.4 Распределение температуры

Пользуясь формулой (12.9, а), можно составить уравнение, определяющее собой закон распределения температуры в покоящейся газовой среде.

По уравнению состояния имеем

= R × T₁ и = R × T₂.

Подставляя эти значения в уравнение (12.9, а), найдём

g × z₁ + × R × T₁ = g × z₂ + × R × T₂, (12.11)

что и представляет собой закон распределения температуры.

Обозначая буквой h разность(z₂ – z₁), находим

× R × T₂ = × R × T₁ – h × g,

откуда

Т₂ = Т₁ – × h × g. (12.12)

Из формулы (12.12) следует, что изменение температуры по высоте происходит по линейному закону.

Для адиабатного процесса, подставляя вместо показателя политропы n на показатель адиабаты k, имеем

Т₂ = Т₁ – × h × g. (12.13)

Для воздуха показатель адиабаты k равен 1,4, а удельная газовая постоянная R = 287,14 Дж/(кгК). Тогда из уравнения (12.13) получим

Т₂  Т₁ – 0,01  h.

Отсюда видим, что с увеличением высоты на 100 м температура воздуха понижается примерно на 1⁰.