- •15.Найімовірніше число появи випадкової події (мода)
- •16. Локальна теорема
- •17. Інтегральна теорема
- •Властивості функції Лапласа
- •18. Використання інтегральної теореми
- •19. Формула Пуассона
- •20.Дискретні та неперервні випадкові величини. Закони розподілу їх імовірностей
- •21. Функція розподілу ймовірностей (інтегральна функція) та її властивості
- •22. Щільність імовірностей (диференціальна функція) f (X) і її властивості
- •23. Математичне сподівання
- •24. Властивості математичного сподівання
- •26. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •27. Властивості дисперсії
- •28. Початкові та центральні моменти
- •30Система двох дискретних випадкових величин (X, y) та їх числові характеристики
- •37.Функції одного випадкового аргументу
- •38. Математичне сподівання Функції одного випадкового аргументу
- •4.2. Знаходження f (z), f (z), якщо
- •40. Числові характеристики функції n випадкових аргументів
- •41. Біноміальний закон розподілу ймовірностей
- •45. Геометричний закон розподілу ймовірностей
- •42. Рівномірний закон розподілу ймовірностей. Рівномірний закон розподілу
- •11.1. Числові характеристики
- •43. Нормальний закон розподілу
- •46.. Розподіл 2 (хі-квадрат)
- •47.Математичне сподівання і дисперсія при нормальному розподілу.
- •Різниця
Властивості функції Лапласа
1. Ф(x) визначена на всій осі абсцис.
2. Ф(–x) = – Ф(x), отже, Ф(x) є непарною функцією.
3. Ф(0) = 0.
4. , оскільки є інтегралом Пуассона.
5. Ф(– , як непарна функція.
6. , отже, Ф (х) є функцією неспадною.
7. Ф"(0) = 0;
Таким чином, x = 0 є точкою перегину.
Графік функції Ф(х) зображено на рис. 17
Рис. 17 Рис. 18
Розв’язуючи задачі, додержують такого правила:
, .
Отже, практично функція Лапласа застосовується для значень , що ілюструє рис. 18.
Приклад 2. В електромережу ввімкнено незалежно одну від одної 500 електролампочок, які освітлюють у вечірній час виробничий цех заводу. Імовірність того, що електролампочка в електромережі не перегорить, є величиною сталою і дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що з 500 електролампочок не перегорить:
1) не більш як 380 шт.;
2) не менш як 390 шт.
Розв’язання. За умовою задачі:
; ; ; ; ;
;
2) ;
;
18. Використання інтегральної теореми
За допомогою , можна оцінити близькість відносної частоти W(А) до ймовірності p випадкової події А. Нехай p — імовірність появи випадкової події А в кожному експерименті за схемою Бернуллі й W(А) — відносна частота появи цієї події при n експериментах.
Необхідно оцінити ймовірність події W(A) – р< ( > 0 і є малою величиною). Якщо n набуває великих значень, то можна за формулою , дістати:
Р(|W(A) – p| < )
=
.
Отже,
. (46а)
Приклад 1. Імовірність виходу з ладу виробу під час проведення експерименту, який має на меті виявити надійність виробу в роботі, дорівнює 0,2. Було перевірено 400 виробів. Чому дорівнює ймовірність такої події: абсолютна величина відхилення відносної частоти виходу із ладу виробів від імовірності p = 0,2 становить = 0,01?
Розв’язання. За умовою задачі: n = 400; p = 0,2; q = 0,8; = 0,01. Підставивши ці значення в (46), дістанемо:
19. Формула Пуассона
Імовірність того, що за проміжок часу t + не відбудеться жодна подія, подається у вигляді:
(52)
Імовірність того, що за цей самий проміжок часу здійсниться m подій, визначається так:
(53)
оскільки .
Перенісши і в рівняннях (52), (53) у ліву частину, дістанемо таку систему рівнянь:
(54)
Поділимо ліву і праву частини системи рівнянь (54) на і виконаємо граничний перехід при . У результаті дістанемо систему лінійних диференціальних рівнянь:
;
. (55)
Для розв’язування системи (55) використаємо твірну функцію
. (56)
Розглянемо властивості функції А(х, t). При х = 1 А(1, t) = 1.
При х = 0 А(0, t) = p0(t), А(х, 0) = р0 (0) = 1,
. (57)
Помножимо друге рівняння системи (55) на хm і підсумуємо ліву та праву частини рівняння:
.
або з урахуванням (56)
. (58)
Розв’язавши диференціальне рівняння, дістанемо:
, (59)
оскільки А(х, 0) = р0 (0) = 1.
Згідно з властивістю А(x, t) маємо:
;
.
Отже, імовірність того, що за час t відбудеться m випадкових подій, які утворюють найпростіший потік, обчислюється за формулою
, (60)
де — це інтенсивність найпростішого потоку, тобто: середнє число подій, які відбудуться за одиницю часу [с, хв, год].
Приклад. Автомобілі, що рухаються по шосе в одному напрямку, утворюють найпростіший потік із параметром (тобто, через умовну лінію, яка проведена перпендикулярно до шосе в певному місці, у середньому проїжджає 3 автомобілі за 1 с. Обчислити ймовірність того, що за 2 с через умовну лінію проїде: 1) 4 автомобілі; 2) не більш як 4.
Розв’язання. Із умови задачі: .
За таблицею (дод. 3), коли знаходять:
1) ;
2)
=
Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
Точність асимптотичних формул для великих значень n — числа повторних незалежних експериментів за схемою Бернуллі — знижується з наближенням p до нуля. Тому при за умови np = a = const імовірність появи випадкової події m раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:
, (47)
яка називається формулою Пуассона.
!
Запишемо формулу Бернуллі у такому вигляді:
Коли , дістаємо:
.
Оскільки ,
.
Отже,
,
а для великих, але обмежених значень n маємо:
, що й потрібно було довести.
Із (47) випливає:
; (48)
.
І справді, це підтверджується ще й тим, що події утворюють повну групу.
Функція Рn (m) визначається за таблицею, наведеною в дод. 3, за заданим m і обчисленим значенням а = np.
Приклад 1. Радіоприлад містить 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного, причому кожний може вийти з ладу під час роботи приладу з імовірністю р = = 0,002. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) під час роботи приладу з ладу вийдуть 3 мікроелементи; 2) від трьох до шести.
Розв’язання. За умовою задачі маємо n = 1000; p = 0,002; m = 3; 3 . Оскільки n велике, а р мале число, то для обчислення ймовірностей застосуємо формули (47) і (48). Для цього обчислимо значення параметра а = np = 1000 · 0,002 = 2.
1) .
2)