3. Примеры решения типовых задач
Пример 1. Произведите группировку по объему потребления природного и попутного газа за год по 3-м группам с равными интервалами, если потребление природного газа составило (млн. м3 ):
86071; 36336; 54803; 57803; 57895; 10739; 68432; 48828;
70739; 10935; 17854; 16224; 27137; 13668; 16754
Результаты необходимо свести в таблицу, сделать выводы.
РЕШЕНИЕ
Для произведения группировки данных необходимо определить количество и величину каждого интервала. Количество интервалов известно по условию задачи – 3, величину интервалов можно определить по формуле:
Затем строится группировочная таблица, в которую сводятся результаты группировки:
-
Объем потребления природного и попутного нефтяного газа, млн. м3
Число потребителей
От 10739 до 35850
7
От 35850 до 60961
5
От 60961 до 86071
3
По результатам группировки можно сделать вывод, что наиболее многочисленную группу представляют предприятия с объемом потребления природного и попутного нефтяного газа от 10739 до 35850 млн. м3, поскольку в эту группу входит наибольшее число потребителей – 7.
Пример 2. Цепные темпы прироста реальных доходов на душу населения составили (условные данные):
Условные годы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Темпы прироста, % |
5 |
4 |
5 |
4 |
3 |
4 |
Необходимо определить темп роста реальных доходов за 6 лет, а также средний годовой темп роста за этот же период.
РЕШЕНИЕ
Перед решением необходимо определить темпы роста доходов на душу населения в каждом году исходя из темпов прироста пользуясь формулой взаимосвязи этих показателей:
Тр = Тпр + 100%
Темп роста реальных доходов за 6 лет определяется исходя из цепных темпов роста доходов за каждый год следующим образом:
Тр (6 лет) = 1,05*1,04*1,05*1,05*1,03*1,04 = 1,277 = 127,7%
Средний годовой темп роста за 6 лет определяется по формуле средней геометрической:
Таким образом, реальные доходы на душу населения за 6 лет выросли на 27,7 %, при этом в среднем за год они увеличивались на 4,16%.
Пример 3. Определите средний процент брака по 3-м заводам вместе, если известны следующие данные:
Завод |
Процент брака |
Количество забракованных изделий, шт. |
1 2 3 |
5 7 6 |
30 84 12 |
РЕШЕНИЕ
Необходимо выбрать форму средней, с помощью которой можно определить искомую величину. С этой целью устанавливается зависимость между известными показателями:
,
где Тбр – количество забракованных изделий;
Тобщ – общее количество выпущенных изделий;
%бр – процент забракованных изделий.
Используя данную зависимость можно вместо неизвестного показателя (общее количество выпущенных изделий) в формулу расчета процента брака подставить соответствующее выражение и прийти к формуле средней гармонической взвешенной:
Пример 4. Определите среднеквартальный товарный остаток в 2005 году, если товарные запасы в торговой сети составили, млн. руб.:
На 1.01.2005 |
22,4 |
На 1.04.2005 |
23,5 |
На 1.07.2005 |
20,8 |
На 1.10.2005 |
22,2 |
На 1.01.2006 |
24,6 |
РЕШЕНИЕ
Для определения среднего показателя в данном случае пользуются формулой средней гармонической, т.к. здесь представлен моментный динамический ряд с равноотдаленными моментами в случае непрерывного учета:
Пример 5. На 1.03.2005 г. на заводе по списку числилось 648 человек: 5 марта было уволено 2 человека, но принято 3; 11 марта – 1 человек принят; 16 марта – 2 человека уволено; 21 марта – 1 человек уволен; 28 марта – 1 человек уволен, 3 человека принято. Определите среднесписочную численность работников предприятия.
РЕШЕНИЕ
Среднесписочная численность определяется как средняя арифметическая взвешенная по числу дней фактической работы рабочих, поскольку в данной задаче приведен динамический моментный ряд показателей с неравноотдаленными моментами учета в случае непрерывного учета:
Пример 6. Распределение работников предприятия по размеру средней заработной платы представлено следующими данными. По представленным данным необходимо определить моду и медиану.
Группы рабочих по размеру заработной платы, у.е. |
Число рабочих |
Наколенные частоты |
Накопленные частоты, % к итогу |
До 500 |
60 |
60 |
6 |
500-600 |
70 |
130 |
13 |
600-700 |
170 |
300 |
30 |
700-800 |
250 |
550 |
55 |
800-900 |
220 |
770 |
77 |
900-1000 |
150 |
920 |
92 |
Свыше 1000 |
80 |
1000 |
100 |
РЕШЕНИЕ
Мода и медиана это средние показатели, характеризующие статистическое распределение, которые можно рассчитать по следующим формулам:
,
где хМо – нижняя граница значения интервала, содержащего моду;
iMo – величина модального интервала;
fMo – частота модального интервала;
fMo-1 – частота интервала, предшествующего модального;
fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
,
где хМе – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;
iMo – величина медианного интервала;
Σf – сумма частот;
SМе-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
fMe – частота медианного интервала.
В данном примере модальным будет интервал от 700 до 800 у.е., так как именно он имеет наибольшую частоту (250 работников). Соответственно мода в этом случае будет равна:
Медианный интервал определяется по сумме накопленных частот. Это интервал,в котором сумма накопленных частот равна или превышает половину. В данном случае это интервал от 700 до 800 у.е., поскольку сумма накопленных частот в нем равна 55%. Таким образом медиана будет равна:
Таким образом, по результатам расчетов можно седлать вывод, что наибольшее число работников имеют среднюю заработную плату 772 у.е., при этом половина работников предприятия получают среднюю зарплату менее 780 у.е., остальные - более 780 у.е.
Пример 7. Пользуясь взаимосвязью индексов определить динамику объема производства предприятия в результате изменения средней численности рабочих, если общее увеличение производства продукции по предприятию составило 112%, а в результате сокращения выработки рабочего объем производства уменьшился на 2%.
РЕШЕНИЕ
Прежде всего необходимо установить взаимосвязь между индексами и между самими показателями объема производства, численности рабочих и их выработкой. Эту связь можно представить следующим образом:
где Q – объем выпуска продукции;
w – выработка рабочего;
Ч – среднесписочная численность рабочих;
Iq, Iw, Iч – индексы объема, выработки и численности.
По условию известно, что общее изменение объема выпуска продукции составило 112%, т.е. индекс объема производства (Iq) равен 1,12. Поскольку в результате сокращения выработки рабочего объем производства уменьшился на 2%, то индекс выработки (Iw) составил 100%-2% 98% или 0,98. Таким образом, пользуясь взаимосвязью индексов можно определить индекс численности рабочих (Iч):
IЧ = IQ / Iw = 1,12 / 0,98 = 1,14 или 114%
Таким образом, за счет изменения численности рабочих объем выпущенной продукции увеличился на 14%.
Пример 8. Имеются следующие данные о производстве товаров по предприятию:
Вид товара |
Произведено, шт. |
Себестоимость единицы продукции, ден. ед. |
||
базисный период |
отчетный период |
базисный период |
отчетный период |
|
А Б |
2000 120 |
2926 160 |
200 4300 |
200 3700 |
Необходимо определить общие индексы затрат на производство, физического объема производства и себестоимости.
РЕШЕНИЕ
Сначала необходимо установить зависимость между исследуемыми показателями и определить порядок факторов, используемых в индексных расчетах. Общие затраты на производство находятся в прямой зависимости от объема производства и себестоимости продукции. При этом затраты на производство являются результативным показателем, объем производства- количественный фактор (первого порядка), себестоимость – качественный показатель (фактор второго порядка). Таким образом, расчет индексов проводится следующим образом:
1) общий индекс затрат на производство:
,
где З – затраты на производство;
q – объем выпуска;
z – себестоимость продукции.
2) общий индекс физического объема производства:
3) общий индекс себестоимости:
Таким образом, общие затраты на производство продукции в отчетном периоде выросли на 28,5%, в том числе за счет увеличения объема производства они выросли на 39%, а за счет изменения себестоимости продукции общие затраты на производство сократились на 7,5%.
Пример 9. По данным, представленным в таблице определите:
1) общие индексы цен, выручки от реализации, физического объема реализации;
2) абсолютный размер экономии (или дополнительных затрат) покупателей за счет изменения цен на нефть.
НГДУ |
Выручка от реализации нефти, млн. руб. |
Изменение цены за 1 т. в отчетном периоде по сравнению с базисным, % |
|
базисный период |
отчетный период |
||
№ 1 № 2 |
3200 1100 |
2400 1300 |
-5 +12 |
РЕШЕНИЕ
В данном случае для расчета всех общих индексов по агрегатной форме не достаточно данных, поэтому можно воспользоваться другими известными методами расчета индексов, например, с помощью формул средних индексов.
Индекс выручки от реализации:
Индекс цен определяется по формуле среднего гармонического индекса, в котором усредняется индивидуальный индекс цен (вторичного показателя), а в качестве веса используется сумма выручки от реализации (результативный показатель) на отчетном уровне:
При этом индивидуальные индексы цен (i р) определяются исходя из известных изменений цен за 1 т. в отчетном периоде по сравнению с базисным в % (Δр) следующим образом:
Таким образом, индивидуальные индексы цен по НГДУ составят:
НГДУ № 1 – (-5 +100)/100 = 0,95
НГДУ № 2 – (12+100)/100 = 1,12
Общий индекс цен составит:
Индекс физического объема реализации можно определить через взаимосвязь индексов:
или пользуясь формулой ранее рассчитанного среднего гармонического индекса цен:
Абсолютный размер экономии (или дополнительных затрат) покупателей за счет изменения цен на нефть определяется с помощью абсолютной разности, рассчитанной на базе индекса цен:
По результатам проведенных расчетов можно сделать следующие выводы: выручка от реализации нефти двумя НГДУ вместе снизилась на 14% (86%-100%), в том числе за счет изменения объема реализации она снизилась на 14,3 % (85,7%-100%), а за счет изменения цен выросла на 0,35%. В результате этого сумма дополнительных затрат потребителей за счет изменения цен на нефть составила 13 млн. руб.
Пример 10. По группе промышленных предприятий получены следующие данные:
Показатель |
Номер предприятия |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Текучесть кадров, % Выполнение плана по производительности труда, % |
10 112 |
12 115 |
14 110 |
16 107 |
18 103 |
20 101 |
22 99 |
24 98 |
26 100 |
28 95 |
Необходимо выбрать форму уравнения регрессии между текучестью кадров и процентом выполнения плана по производительности; вычислить параметры уравнения; дать им экономическую интерпретацию; определить тесноту связи.
РЕШЕНИЕ
Для того, чтобы определить форму аналитической зависимости между представленными показателями необходимо представить эту зависимость графически (рис. 1)
Рис.1 Зависимость между планом по производительности труда и текучестью кадров
Судя по представленному график зависимость между показателями можно описать линейной функцией, которая может быть выражена следующим уравнением регрессии:
Для расчета параметров уравнения пользуются методом наименьших квадратов (МНК). Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:
Для решения данной системы уравнений и дальнейшего расчета показателя тесноты взаимосвязи можно построить вспомогательную таблицу.
Вспомогательная таблица для расчета параметров уравнения регрессии
Номер предприятия, n |
Текучесть кадров, Xi |
Выполнение плана по производительности труда, Yi |
Расчетные показатели |
||
xy |
X2 |
Y2 |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
10 |
112 |
1120 |
100 |
12544 |
2 |
12 |
115 |
1380 |
144 |
13225 |
3 |
14 |
110 |
1540 |
196 |
12100 |
4 |
16 |
107 |
1712 |
256 |
11449 |
5 |
18 |
103 |
1854 |
324 |
10609 |
6 |
20 |
101 |
2020 |
400 |
10201 |
7 |
22 |
99 |
2178 |
484 |
9801 |
8 |
24 |
98 |
2352 |
576 |
9604 |
9 |
26 |
100 |
2600 |
676 |
10000 |
10 |
28 |
95 |
2660 |
784 |
9025 |
Сумма |
190 |
1040 |
19416 |
3940 |
108558 |
По итоговым данным таблицы проводится расчет параметров уравнения регрессии путем решения системы уравнений:
Таким образом,
уравнение регрессии, отражающее
зависимость между выполнением
плана по производительности труда и
текучестью кадров выглядит следующим
образом:
Параметры этого уравнения означают следующее: параметр а1 показывает, что с увеличением текучести кадров на 1% выполнение плана по производительности труда снижается на 1,042%. Параметр а0 отражает влияние на выполнение плана по производительности всех факторов, кроме текучести кадров, таким образом если бы текучесть кадров на предприятии отсутствовала, то выполнение плана по производительности составило бы 123,8 %.
Для того чтобы определить тесноту связи между изучаемыми показателями необходимо рассчитать линейный коэффициент корреляции, отражающий степень тесноты связи при линейной зависимости между показателями. Коэффициент корреляции рассчитывается следующим образом:
Количественные критерии оценки тесноты связи
Величина коэффициента корреляции |
Характер связи |
До |±0,3| |±0,3| - |±0,5| |±0,5| - |±0,7| |±0,7|-|±1,0| |
практически отсутствует слабая умеренная сильная |
Судя по коэффициенту корреляции, пользуясь таблицей количественных критериев оценки тесноты связи, можно сделать вывод, что связь между изучаемыми показателями тесная и обратная.