21.Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a_ij, b_i (i =1..m; j =1..n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x₁=k₁, x₂=k₂, … x_n=k_n), при подстановке которых в (1) каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система, называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Например:

Исходная система в матричной форме. Обозначим:

где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов.

Систему можно записать в виде: АХ=В.

22.Матрицы и их классификация

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (А, В, С…), а элементы матриц строчными буквами с двойным индексом: а_ij , где i – номер строки, j – номер столбца. в сокращенной записи А=( а_ij) i=1.. m; j=1.. n.

Две матрицы А и В одного размера mхn называются равными, если они совпадают поэлементно,т.е. а_ij =b_ij для всех i=1.. m; j=1.. n.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором)-столбцом.

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов и равно n. Элементы матрицы а_ij, у которых i = j называются диагональными элементами и образуют главную диагональ. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то она называется диагональной. Единичной, называется диагональная матрица, элементы которой равны единице.

Симметрической называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны, т.е.

Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие по одну из сторон главной диагонали, равны нулю.

Обратная матрица:Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0 ) – вырожденной, или особенной.

Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица , каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А^-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

23.операции над матрицами

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой b_ij =λ а_ij для всех i=1… m; j=1… n.

Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С=А+В, элементы которой с_ij =а_ij+ b_ij для всех i=1… m; j=1…n.

Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + ( −1 )∙В.

Умножение матриц.

Умножение матриц А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Целой положительной степенью А^m квадратной матрицы А называется произведение m матриц А, т.е. Аm = А ∙А∙ …∙А

Транспонирование матрицы.

Транспонированием матрицы называется переход от матрицы А к А^т (или А'), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. А^т – называется транспонированной относительно матрицы А.