- •1.Графики и свойства основных элементарных функций
- •2.Предел функции
- •3.Основные теоремы о пределах.Асимптоды графика функций
- •4 Непрерывность функции в точке и на интервале
- •5 Точки разрыва первого и второго рода.
- •6. Производная и дифференциал
- •7.Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •8.Функции нескольких переменных и их непрерывность.
- •9.Производные функций нескольких переменных.
- •10.Дифференциалы функций нескольких переменных.
- •11.Поиск экстремума функции.
- •12.Поиск экстремума функции двух переменных.
- •13.Неопределенный интеграл,основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла:
- •14.Определенный интеграл,основные теоремы
- •16.Прямая линия на плоскости.
- •17.Эллипс:определение и вывод канонического уравнения.
- •18. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения
- •19.Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения
- •20.Прямая и плоскость в пространстве
- •21.Системы линейных уравнений
- •22.Матрицы и их классификация
- •24. Определители и их свойства. Теорема Лапласа
- •25.Обратная матрица. Определение и алгоритм вычисления
- •1. Находим определитель исходной матрицы.
- •3. Находим аt, транспонированную к а.
- •27.Системы векторов, операции над ними
- •28. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы
- •29.Линейные операторы и матрицы
- •30.Собственные векторы линейных операторов
- •31.Решение системы линейных уравнений с помощью определителей.Формулы крамера
- •32.Решение системы линейных уравнений в матричной форме
- •33.Решение системы линейных урав-й методом гаусса
- •34.Сущность и условия применения теории вероятности
- •36.Вероятностное пространство.
- •37.Элементы комбинаторного анализа.
- •38. Непосредственный подсчет вероятностей.
- •39. Теорема сложения вероятностей.
- •40. Теорема умножения вероятностей.
- •41.Формула полной вероятности
- •42. Теорема Байеса.
- •42. Формула Бернули.
- •45. Основные числовые характеристики непрерывной случайной дискретной величины.
- •46. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величиНы
- •47.Равновероятностный закон распределения вероятностей.
- •48.Числовые характеристикисистемы двух случайных величин.Зависимость между случайными величинами
- •49. Неравенство Чебышева.
- •50. Закон больших чисел и его следствие.
- •Слабый закон больших чисел
- •Усиленный закон больших чисел
24. Определители и их свойства. Теорема Лапласа
Определители квадратной матрицы:
Каждой квадратной матрице А, можно поставить в соответствие вычисленное по определенным правилам число, называемое определителем квадратной матрицы.
Определителем матрицы первого порядка А=(а11) или определителем первого порядка называется элемент а11. Обозначается Δ1 = а11 или│А│= а11.
Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ2 = │А│= а11а22 – а12а21 .
Определителем матрицы третьего порядка
или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ3 = │А│= а11а22 а33+а12а23а31+а21а32а13– а31а22а13– а12а21а33 – а32а23а11.
Теорема (частный случай теоремы Лапласа). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
Δ=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin. Значение теоремы состоит в том, что позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n-1)-го порядка.
Свойства:
1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю.
2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то её определитель умножится на это число λ.
3. При транспонировании матрицы её определитель не изменится.
4. При перестановке 2-х строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.
5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю.
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.
7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.
8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: │АВ│=│А││В│.
25.Обратная матрица. Определение и алгоритм вычисления
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1∙А = А ∙А-1 = Е.
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
Находим определитель исходной матрицы. Если │А│=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А-1 не существует. Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует.
Находим А', транспонированную к А.
Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы А'ij=Aji (i=1..n; j=1..n) и составляем из них присоединенную матрицу .
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А-1∙А = А ∙А-1 = Е.
Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0 ) – вырожденной, или особенной .