Поиск решения в условиях неопределенности с использованием дерева решения.

1. Коньюктивная вершина

P = (C_i & C_j => R, k)

R

C_i C_j

k(C_i) k(C_j)

а) максимин

k(R) = min{ k(C_i), … ,k(C_j) }* k

б) вероятностная логика

k(R) = k(C_i), … , k(C_j) * k

2. Дизъюктивная вершина

P_i = (C_i → R_i k_i )

…

P_j= (C_j → R_j k_j)

R

P_ik_i P_jk_j P_rk_r

C_i C_j C_r

k(C_i) k(C_j) k(C_r)

а) максимин

k(R) = max {k(C_i) * k_i, … , k(C_r)k_r}

б) вероятностная логика

k(R) = k(C_i)*k_i + k(C_j)*k_j – k(C_i)k(C_j)k_ik_j

k(R) = k(C_i)*k_i + k(C_j)*k_j + k(C_r)*k_r – k(C_i)k(C_j)k_ik_j – k(C_i)k(C_r)k_ik_r – k(C_j)k(C_r)* *k_jk_r – k(C_i)k(C_j)k(C_r)k_ik_jk_r

Пример

{P} – набор правил

{F_i} – наблюдаемые факторы

{C_e} – промежуточные заключения

R – целевое заключение

P1 = (F1 → C1; 0.8)

P2 = (F2 → C1; 0.7)

P3 = (F3 → C2; 1)

P4 = (F4&F5 → C3; 0.9)

P5 = (F6 → C6; 1)

P6 = (F7 → C6; 0.7)

P7 = (F8&F9 → C4; 0.4)

P8 = (C1&C2&C3 → C5; 0.9)

P9 = (C4 → C6; 0.8)

P10 = (C5&C6 → R; 1)

Д ерево: (*)0.6 R

P10;1 P9;0.8

( **)0.5 C5 C6

P8;0.9 P5;1 P6;0.7

C1 C2 C3 F6 F7 C4

P1;0.8 P2;0.7 P3;1 P4;0.9 P7;0.4

F1 F2 F3 F4 F5 F8 F9

k_пор =0.2

S = (k(F_i)), i =1, 9

S_н = (0.9; 0 ; 1 ; 0.8 ; 0,9 ; 0.1 ; 0.8 ; 0.7 ; 0.5)

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9

а) максимин

k(C1) = max{(0.9*0.8); (0.7*0)} = 0.72

k(C2) = 1

k(C3) = min{0.8; 0.9}*0.9 = 0.72

k(C5) = min{0.72; 1; 0.72}*0.9 = 0.65

k(C6) = max{(0.7*0.9); (0.8*0.2)} =0.56

k(C4) = min{0.7; 0.5}*0.4 = 0.2

k(R) = min {0.65; 0.56} = 0.56 = 56%

б) вероятностная

k(C1) = 0.8*0.9 = 0.72

k(C2) = 1

k(C3) = 0.9*0.8*0.9 = 0.65

…

k(R) = 0.24 = 24%

1. максимин

+ (*)

k(R) = max {0.56; 0.6} = 0.6 (60%)

+ (**)

k(R) = max {0.6; 0.5} = 0.6 (60%)

2. вероятностная

+(*)

k(R) = 0.24*0.8+0.6 – 0.24*0.6 = 0.7

+(**)

k(R) = 0.7 + 0.5 – 0.7*0.5 = 0.85

Теория свидетельств Демпстера – Шефера

Схема Байеса

1. P(H) +P(¬H) =1

2. Свойство индифферентности

3. Точечная оценка

Посылки ТС

1. Использование субъективных свидетельств

2. Использование правила объединения свидетельств

3. Различаются ситуации неопределенности и незнания

4. Вместо точечной оценки используется вероятностный интервал доверия

В 1967г. Демпстер предложил

P_*(H); P^*(H)

[P_*(H); P^*(H)] – интервал доверия

P_*(H) →Bel(H) – мера доверия к гипотезе H

P^*(H)→pl(H) – мера правдоподобия гипотезы H

Вероятностный интервал: [Bel(H); pl(H)]

Пример

H – покупать ли акции

1. Эксперт А: р(А_в) = 0.9 р(А_н) = 0.1

Н

0

Bel(H) = 0.9

pl(H) = 1 – Bel(H) = 1

[0.9; 1]

2. Эксперт B: p(B_в) = 0.8 p(B_н) = 0.2

а) H

p(А_в& B_в) = 0.9*0.8 = 0.72

p(А_н& B_н) = 0.1*0.2 = 0.02

p(А_в v B_в) = 1 – p(А_н v B_н) = 0.98

[0.98; 1]; Bel(H) = 0.98 pl(H) = 1

б) эксперт А – H

эксперт B – ¬H

p(А_в& B_н) = р(А_в)*р(В_н) = 0.9*0.2 = 0.18

p(А_н& B_в) = р(А_н)*р(В_в) = 0.1 * 0.8 = 0.08

p(А_н& B_н) = р(А_н)*р(В_н) = 0.1 * 0.2 = 0.02

р(А_н v В_н) = 0.18+0.08+0.02 = 0.28

Bel(H) =

Bel(¬H) = 0.286

Pl(H)= 1 – Bel(¬H) = 0.714

Pl(¬H) = 1 – Bel(H) = 0.357

H [0.643; 0.714]

¬H [0.286; 0.357]

P(А_в) = р(В_в) = 0.9

А→Н; В→ Н [0.99; 1]

A→¬H; B→H [0.47; 0.53] H

[0.47; 0.53] ¬H