: Методика изучения теорем и их доказательств

Занятие 7

Доказательством называют конечную последовательность предложений дан­ной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предыдущих предложений этой последовательности по правилам логи­ческого вывода.

При введении теорем, как и при введении понятий, используются два метода: конкретно-индуктивный и абстрактно-дедуктивный. (Эти методы ши­роко применяются в дальнейшем и лежат в основе мето­дических схем изучения многих теорем.) В первом случае теорема в готовом виде не сообщается, проводится спе­циальная работа по «подведению» учащихся к теореме, обнаружению соответствующей математической законо­мерности. Итогом этой работы является формулирование изучаемой теоремы.

Абстрактно-дедуктивный метод вве­дения теоремы начинается с того, что учитель сам фор­мулирует эту теорему, а затем проводится работа по уточнению смысла данной теоремы, ее условия и заклю­чения, построению чертежа и т. д.

Доказательство теоремы представляет собой цепочку рассуждений (силлогизм).

Построение доказательств обычно представляет собой цепочку так называемых силлогизмов – умозаключений, в которых на основании двух категорических суждений (большей посылки и меньшей посылки) выводится третье суждение (вывод заключение).

Рассмотрим доказательство первого признака параллелограмма («Геометрия, 6»): «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно конгруэнтны, то этот четырехуголь­ник — параллелограмм».

1-й силлогизм. Б. П.: если три стороны одного треугольника соответственно конгруэнтны трем сторонам другого треугольни­ка, то такие треугольники конгруэнтны.

М. П.: стороны АВ, ВС и СА треугольника АВС соответст­венно конгруэнтны сторонам СD, DА и АС треугольника СDА. Заключение: треугольники АВС и СDА конгруэнтны.

2-й силлогизм. Б. П.: в конгруэнтных треугольниках против конгруэнтных сторон лежат конгруэнтные углы.

М. П.: в конгруэнтных треугольниках АВС и СDА стороны АВ и СD конгруэнтны, против них лежат углы 1 и 3. Заключение: углы 1 и 3 конгруэнтны.

3-й силлогизм имеет ту же большую посылку, что и второй, в малой же посылке рассматривается вторая пара сторон и уг­лов, и, следовательно, в заключении утверждается конгруэнт­ность углов 2 и 4.

4-й силлогизм. Б. П.: если какие-либо два внутренних на­крест лежащих угла при пересечении двух прямых третьей кон­груэнтны, то эти две прямые параллельны.

М. П.: углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой АС. Эти углы конгруэнтны.

Заключение: прямые АВ и СD параллельны.

5-й силлогизм имеет ту же большую посылку, что и четвертый, в меньшей же посылке рассматривается вторая пара углов и вторая пара прямых, в заключении утверждается параллельность прямых ВС и АD.

6-й силлогизм. Б. П.: четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллело­граммом.

М. П.: в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны. Заключение: четырехугольник АВСD—параллелограмм.

Теорема доказана.

Доказательства бывают прямые и косвенные. Прямые доказательства, в свою очередь, делятся на синтетические и аналитические.