Вопрос 2

Теплопроводность обусловленная атомными колебаниями (решёточная теплопроводность)

Решеточная теплопроводность твердого тела, как и теплоемкость, обусловлена тепловыми колебаниями атомов, амплитуда которых, определяющая внутреннюю энергию решетки, увеличивается с ростом температуры. Благодаря сильной связи между атомами тепловое возбуждение, возникшее в каком-либо месте решетки, передается от атома к атому в виде упругой волны, приводя их в коллективное движение, подобное распространению звуковых волн в твердом теле. Достигая поверхности тела, упругая волна отражается от нее. Наложение прямой и отраженной волн приводит к установлению в решетке стоячей волны с частотой w, которая называется нормальным колебанием. Всего в теле с N атомами можно возбудить 3N нормальных колебаний с собственными дискретными частотами w_I, которые упрощенно удовлетворяют тому условию, что на поверхности тела должны располагаться узлы стоячей волны (в узлах амплитуда колебаний равна нулю), а между узлами укладываться целое число полуволн т.е. w_i , где U - скорость звука в теле.

Максимальная частота нормальных колебаний не может превышать

w_max

где d – расстояние между соседними атомами. Физически это означает, что не может наблюдаться колебание с длиной волны, меньшей удвоенного расстояния между атомами (см. рис. 1). Минимальная частота колебаний w_min ограничивается линейными размерами кристалла L,

w_min .

Тепловое возбуждение решетки в целом описывается наложением друг на друга слабо взаимодействующих между собой 3N нормальных колебаний. Энергия каждого нормального колебания квантуется. В гармоническом приближении, т.е. в предположении, что силы взаимодействия между атомами пропорциональны смещениям, нормальные колебания не взаимодействуют между собой. Энергия нормальных не взаимодействующих колебаний может быть представлена в виде

Е_i = w_i (n = 0, 1, 2, …), (2)

где постоянная Планка

Минимальная величина кванта энергии нормального колебания называется фононом. Каждое нормальное колебание с энергией Е_i эквивалентно возбуждению n одинаковых фононов . Среднее число фононов возбужденных при температуре Т, описывается функцией Бозе-Эйнштейна:

(3)

где k – постоянная Больцмана.

Из (3) следует, что максимальная частота и количество фононов, возбуждаемых в теле, определяются его температурой. При температуре Т возбуждаются все фононы, частоты которых удовлетворяют соотношению Фононы с энергией кванта практически не возбуждаются, так как среднее число фононов с энергией равно 0,6, а с энергией равно 0,16. Каждое i-ое колебание возбуждается до уровня и эквивалентно рождению (генерации) n одинаковых фононов.

В гармоническом приближении, как упоминалось выше, фононы не взаимодействуют между собой, и их рассматривают как идеальный газ, заполняющий термически возбужденное тело. Такой подход используется при описании теплоемкости твердых тел.

Билет 16