Вопрос 2 Теория теплоёмкости Эйнштейна
Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна − была создана Эйнштейном в 1907 году, при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.
При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:
Атомы в кристаллической решетке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.
Частота колебаний всех осцилляторов одинакова.
Число осцилляторов в 1 моле вещества равно 3Na, где Na - число Авогадро.
Энергия их квантована:
,
Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана:
Внутренняя энергия
1 моля
вещества:
.
находится
из соотношения для среднего значения:
и составляет:
,
отсюда:
.
Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:
.
Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга-Пти.
Недостатки теории
Однако теория Эйнштейна недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов в силу неточности некоторых предположений Эйнштейна, в частности, предположения о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.
Билет 2
Вопрос 1Пространственная решетка. Элементарная и примитивная решетки.
Пространственная решетка. Идеальная бесконечная пространственная решетка, как математическое понятие --- это бесконечное множество точек (узлов), переходящее в себя при определенной группе преобразований, к которым относятся трансляции, повороты, отражения и инверсии. Обязательным свойством всех решеток является их трансляционная инвариантность, то есть решетка должна переходить в себя при сдвиге в трех независимых направлениях:
r ---> r' = r + ai |
(1.1) |
Вектора ai = { a, b, c } не должны лежать в одной плоскости. Понятно, что любой вектор d = k a + l b + m c, являющийся суммой этих трех, умноженных на целые числа, также будет переводить решетку в себя. Обычно из всего бесконечного множества таких векторов выбирают три минимальных некомпланарных вектора.
Рис. 1.1. Слева -- элементарная ячейка, справа --- небольшой блок кристалла и элементарные трансляции его решетки
Эти вектора a, b, c (a1, a2, a3), называются периодами, или основным репером, или элементарными трансляциями. Углы между трансляциями обозначают a, b, g (a1, a2, a3). Построенный на этих векторах параллелепипед будет минимальной ячейкой решетки и называется элементарной ячейкой (рис. 1.1). Параллельным переносом ее можно разнести по всему кристаллу. Поэтому для того, чтобы задать весь кристалл, достаточно указать три вектора элементарных трансляций и базис --- все частицы, принадлежащие элементарной ячейке.
Если в элементарной ячейке содержится один узел (такие ячейки называют примитивными), то координаты m, n, p являются целыми числами, а вся решетка --- решеткой Бравэ:
R = m a + n b + p c, |
m, n, p Î Z |
(1.3) |
Cовокупность индексов узла, заключенную в двойные квадратные скобки [[mnp]], называют символом узла.
Если элементарная ячейка содержит не один узел, числа m, n, p --- не обязательно целые. Для дальнейшего нам будет удобно такие решетки также представлять как составленные из нескольких примитивных
R = m a + n b + p c + Pi |
m, n, p Î Z |
(1.4) |
где Pi --- вектора узлов базиса.
Рис. 1.3. Элементарные ячейки решеток Бравэ