18.Продуктивность модели леонтьева.

Производственная сфера состоит из отраслей, каждая из которых производит свой продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей. Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период (например, год). Введем обозначения: - общий объем продукции -ой отрасли, - объем продукции -ой отрасли, потребляемый –ой отраслью, - объем продукции -ой отрасли, предназначенный для реализации. Матрица коэффициентов прямых затрат: ,

Система уравнений имеет ряд особенностей: все элементы матрицы и векторов должны быть неотрицательными. Матр. , все элементы которой неотрицательны, назыв. продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения , (1) все элементы, которого неотрицательны. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для реш. уравнения (1) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Перепишем в виде . Если невырожденная, т.е. , то существует обратная матрицa , значит существует и единственное решение: . Матрица называется матрицей полных затрат. Выясним экономический смысл матрицы полных затрат Рассмотрим единичные векторы конечного продукта: .Для них пол. соотв. векторы валового выпуска: . Следовательно, каждый элемент матрицы полных затрат есть величина валового выпуска продукции -ой отрасли, необход. для обеспечения выпуска единицы конечного продукта -й отрасли. Существует несколько критериев продуктивности матрицы :

1. A продуктивна тогда и только тогда, когда существует и ее элементы неотрицательны.

2. A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма

элементов по любому ее столбцу не превосходит единицы: причем, хотя бы для одного столбца эта сумма, строго меньше единицы.

19. Динамическая модель Леонтьева

Модель (1)

называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева (ДМОБ). Система уравнений (1) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка.

Представим (1) в матричном виде:

, , (2)

Из (2) следует, что

,

. (3)

Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы и для . Решением модели будут значения векторов , .

Условием разрешимости системы (1) относительно вектора является требование .

В данной модели предполагается, что прирост продукции в периоде обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде. Для коротких периодов это предположение нереально, т.к. существуют отставания во времени (временные лаги) между вложением средств в производственные фонды и приростом выпуска продукции.

Если перейти к непрерывному времени, то уравнения (1) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами

(4)

Решением системы уравнений (4) будут значения вектор-функции на отрезке . Условием разрешимости системы (4) является det Φ ≠ 0 .

Более общей динамической межотраслевой моделью является модель, учитывающая производственные мощности отраслей. Она представлена ниже в виде следующих соотношений:

(5), (6),

(7), (8),

, , , , , .

Состояние экономики в году t характеризуется в динамике следующими переменными:

-вектор-столбец валовых выпусков отраслей;

- вектор ввода отраслевых мощностей;

γ -диагональная матрица выбытия мощностей;

-вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально возможных выпусков);

-вектор трудоемкости отраслевых производств, может зависеть от времени;

− объем трудовых ресурсов в экономике.