1-2 Электростатическое поле и закон Кулона. Электрический заряд и его свойства.

Электромагнитные силы

- определяют устойчивость атомов

- объединяют атомы и молекулы

- обуславливают взаимодействие между атомами и молекулами, приводящее к образова­нию конденсированных сред

Все виды сил упругости и трения имеют электромагнитную природу, взаимодействие между те­лами осуществляется с помощью электромагнитных волн. Велика роль электриче­ских сил в ядре атома. Изучение и развитие электромагнетизма привело к созданию огромного количества ма­шин, приборов, материалов. Электромагнитые силы определяют структуру материи и физиче­ские процессы в огромной области пространственных размеров – от 10^-13см до 10⁷см. Главная причина этого то, что вещество построено из элек­трически заряженных частиц – электронов и атомных ядер. Два вида зарядов – положительных и отрицательных – обеспечивают существо­вание как сил притяжения, так и отталкивания. Электромагнитные взаимодействия невозможно объяснить без понятия электростатического поля. Электростатическое поле существует там, где есть неподвиж­ные электрические заряды. Электрический заряд создает особую форму материи, электрическое поле, посредством которого осуществляется взаимодействие между зарядами. Заряд проявляет себя именно в том, что создает поле и взаимодействует с ним. В природе су­ществует два вида электрических зарядов – положительные и отрицательные, но это деление условное. Одноименные отталкиваются, разноименные притягиваются. Силы, с которыми взаи­модействуют заряды называются центральными, они направлены вдоль линии, соединяющей заряды, причем сила, действующая на заряд q₁ со стороны заряда q₂ равна силе, действующей на заряд q₂ со стороны заряда q₁ и противоположна ей по направлению.

Условно считают, что электрон обладает отрицательным элементарным зарядом е=-1.6×10^-19Кл, а протон положительным. Помимо них электрическим зарядом обладают многие другие элементарные частицы. Электрический заряд имеет дискретную природу. Любой заряд кратен целому числу зарядов электрона . Поэтому в процессе электриза­ции заряд тела не может изме­нятся непрерывно, а только дискретно, на величину заряда электрона: q=±ne. З-н сохранения электрического заряда: ∑q_i=const. В изолированной системе, т.е. в системе, тела которой не об­мениваются зарядами с внешними по отношению к ней телами, алгебраическая сумма зарядов сохраняется. При химических реакциях меняется скорость движения электронов, однако после реакции вещество остается таким же электрически нейтральным как и до реакции. Таким обра­зом, электрический заряд не зависит от того, движется он или покоится, т.е. он инвариантен по сравнению с системой отсчета. В электростатике используют идеализированную модель – то­чечный заряд – заряженное тело, линейными размерами которого можно пренебречь по срав­нению с расстоянием до других заряженных тел. Пользуясь понятием точечного заряда можно описывать распределение электрического заряда по пов-ти S, по объему V или по тонкой нити длиной l. Соответственно пользуются поверхностной, объемной или ли­нейной плотностями за­ряда: σ=dq/dS , ρ=dq/dV, τ=dq/dl, где dS, dV, dl – это элементарные площадь, объем и длина, на которых находится точечный заряд dq. Интегрируя эти выражения, можно найти заряд, находя­щийся на поверхности, в объеме или на длине конечных размеров: q=_S∫σdS … Кулон опытным путем установил, что сила взаимодейст­вия двух точечных электрических зарядов, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния ме­жду ними, и направлена вдоль прямой, соединяющей заряды. k=1/4πε₀ – коэффициент пропорциональности в с-ме СИ, ε₀ – электрическая постоянная, ε₀ =8.85×10^-12Ф/м. Если имеется система точечных зарядов, то сила, действующая на каждый из них, определяется как векторная сумма сил, действующих на данный заряд со стороны всех других заря­дов с-мы. При этом сила взаимодействия данного заряда с каким-то конкретным зарядом рассчитывается так, как будто этих зарядов нет.

3-4-5. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. Поток на­пряженности электрического поля и его физический смысл. Принцип су­перпозиции электри­ческих полей.

Электростатическое поле характеризуется напряженностью этого поля Е. Напряженность Е в не­которой точке электрического поля – это физическая величина, численно рав­ная силе, дейст­вующей на помещенный в данную точку поля покоящийся единичный положительный заряд, и направленная в сторону действия силы. Точечный положительный заряд называют пробным за­рядом q₀, то на заряд q₀ по закону Кулона будет действовать сила F=kqq₀/r² Если в одну и ту же точку поля помещать разные пробные заряды то на них будут действовать силы пропорцио­нальные этим зарядам. Но отношение F/q₀ для всех зарядов, вносимых в поле будет одинако­вым и будет зависеть лишь от q и r, опреде­ляющих электрическое поле в данной точке. Поэтому величина, выражаемая формулой E=F/q₀ принята в качестве основной характеристики напря­женности. Напряженность – это силовая характеристика поля, которая определяет силу, дейст­вующую на единичный неподвижный пробный заряд со стороны электрического поля. Для электрического поля, созданного точечным зарядом q на расстоянии r от него, величина напря­женности равна: E=kq/r². При положительном заряде q, образующем поле, вектор напряженно­сти E направлен вдоль радиуса от заряда, при отрицательном q- вдоль радиуса по направлению к заряду.

Если поле образовано не одним зарядом, а несколькими, то силы, действующие на пробный за­ряд, складываются по правилу сложения векторов. Поэтому и напряженность с-мы зарядов в данной точке поля равна векторной сумме напряженностей от каждого заряда в отдельности E=E₁+E₂+…=∑E_i Данное положение называется принципом суперпози­ции(наложения) электриче­ских полей. Для двух точечных зарядов q₁ и q₂ на рис. Показано нахождение результирующего в-ра E в произвольной точке А. Заряд q₁ находится на расстоянии r₁ от точки А, заряд q₂ на расстоя­нии r₂ от точки А. Величина этого в-ра может быть рассчитана по ф-ле E=√E₁²+ E₂²+2 E₁E₂cosα , где α-угол между в-рами E₁ и E₂, E₁=kq₁/r₂² - напряженность поля, созданного зарядом q₁. Если из­вестно расстояния r между зарядами, то вычисление cosα можно провести следующим образом cosα=(r²- r₁²- r₂²)/2 r₁ r₂.

Электростатичекое поле наглядно можно изобразить с помощью силовых линий (линий напря­женности). Силовыми линиями называют кривые, касательные которым в каждой точке совпа­дают с вектором напряженности Е. Силовые линии являются условным понятием и реально не существуют. Силовые линии одиночного отрицательного и одиночного положительного зарядов – радиальные прямые, выходящие от положительного заряда или идущие к отрицательному за­ряду. Если густота и направление силовых линий по всему объему поля сохраняются неизмен­ными, такое электростатическое поле считается однородным (Е=const). Например, заряд, рас­пределенный равномерно по бесконечной плоско­сти, создает однородное электрическое поле , силовые линии которого изображаются равноотстоящими друг от друга параллельными пря­мыми линиями. Для того, чтобы сило­вые линии характеризовали не только направление поля , но и значение его напряженности, число линий должно быть численно равно напряженности поля Е. Число силовых линий dФ_Е , пронизывающих элементарную площадку dS, перпендикуляр­ную к ним, определяет поток вектора напряженности электростатического поля: dФ_Е =ЕdS=E_n dS, где E_n=Е cosα – проекция вектора Е на направление нормали n к площадке dS.

Соответственно поток вектора Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S : dФ_Е = . На разных участках поверхности S не только величина, но и знак по­тока могут меняться. 1) при α<π/2 dФ_E>0, 2) при α>π/2 dФ_E<0, 3) при α=π/2 dФ_E=0 – это означает, что линии скользят вдоль поверхности, не пересекая ее.

7. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в вакууме.

Найдем поток вектора Е сквозь сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q. В этом случае dФ_Е =ЕdS, т.к направления Е и n во всех точках сферической поверхности совпадают. С учетом напряженности поля точечного заряда Е=(1/4πε₀)q/R², по­лучим Ф_Е = =(1/4πε₀)q/R² =q/ε₀ , Ф_Е – алгебраическая величина, зависящая от знака заряда. Например, при q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направ­лению внешней нормали n. Поэтому в таком случае поток отрицателен Ф_Е<0. Пусть замкну­тая поверхность S₁ вокруг заряда q имеет произвольную форму. Очевидно, что поверхность S₁ пересекается тем же числом линий Е, что и пов-ть S. Следовательно, поток вектора Е сквозь произвольную поверхность S₁ также определяется полученной формулой Ф_Е. Если за­ряд будет находится вне замкнутой пов-ти, то, очевидно, сколько линий войдет в замкнутую область, столько же из нее и выйдет. В результате поток в-ра Е будет равен нулю. Если электрическое поле создается с-мой точечных зарядов q₁, q₂, q₃,…, то согласно принципу суперпозиции, Ф_Е = =Ф_Е1+Ф_Е2+…=∑q_i /ε₀. Эта формула является мате­матическим выражением теоремы Гаусса: поток в-ра напряжен­ности Е электрического поля в вакууме через произвольную замкнутую пов-ть равен алгебраической сумме за­рядов, которые она охватывает, деленной на ε₀. Ф_Е =∑q_i /ε₀. Для полноты описания пред­ставим теорему Гаусса еще и в локальной форме, опираясь не на интегральные соотноше­ния а на параметры поля в данной точке простран­ства. Для этого удобно использовать диф­ференциальный оператор - дивергенцию в-ра, - divE . Его часто записывают как скалярное произведение оператора вектор­ного дифференцирования (“набла”) - на векторную функцию divE= Е. В математическом анализе известна фор­мула Гаусса-Остроградского: поток вектора через замкнутую пов-ть равен интегралу от его дивергенции по объему, ограниченному этой пов-тью, - . Суммарный электрический заряд можно выразить через объемную плотность заряда ρ: ∑_i q_i=∫_VρdV. По­скольку пов-ть интегрирования выбраны произвольно, то dive=ρ/ε₀. Это выражение и есть теорема Гаусса в дифференциальной форме.

8. Применение теоремы Гаусса для расчета электрического поля равномерно заряженной бес­конечной плоскости.

Пусть поверхностная плотность заряда, находящегося на бесконечной плоскости всюду оди­накова. Из симметрии видно, что линии в-ра Е перпендикулярны пл-ти и густота их везде одинакова. Построим замкнутую пов-ть в виде цилиндра, боковая пов-ть которого перпен­дикулярна плоскости. Поток линий Е сквозь боковую пов-ть цилиндра равен нулю, а во всех точках оснований Е_n=Е=const. Следовательно, полный поток будет равен потоку Е_n через два основания цилиндра Ф_Е =E =2ES=2Eπr². Так как заряд, находящийся внутри цилиндра, ра­вен q=σπr² то Е=σ/(2ε₀). Как следует из этой ф-лы, напряженность поля не зависит от рас­стояния до заряженной пл-ти, т.е. поле бесконечно заряженной пл-ти является однород­ным.

9. Применение теоремы Гаусса для расчета электрического поля равномерно заряженной сфе­рической поверхности.

Предположим, что сферическая пов-ть радиуса R несет на себе равномерно распределен­ный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда всюду одинаковая σ=const. Через произ­вольную точку, находящуюся на расстоянии r>R от центра сферы мысленно построим новую сферу симметричную заряженной сфере. В соответствии с теоремой Гаусса Ф_Е=Е4πr²=q/ε₀, следовательно, Е= q/(4πr²ε₀). Для точек, находящихся на пов-ти заряженной сферы радиуса R можно записать Е= q/(4πR²ε₀). Любая замкнутая пов-ть, построенная внутри заряженной сферы, не содержит внутри себя электрических зарядов, поэтому поток Ф_Е, согласно тео­реме Гаусса, равен нулю, а следовательно и величина напряженности электрического поля будет равна нулю.

10. Применение теоремы Гаусса для расчета электрического поля равномерно заряжен­ного шара. Введем понятие объемной плотности заряда ρ, численно равной заряду единицы объема: .

Пусть радиус шара равен R,полный заряд шара равен Q и ρ=const. Вне и внутри шара поле, очевидно, буде сферически симметричным, поэтому в качестве замкнутых поверхностей выбираем две концентрические сферы радиусами R1 меньше и R2 больше R с центрами в центре шара:

Внутри поверхности S2 радиуса R2 сосредоточен полный заряд шара Q, так что поле вне шара, как это следует из теоремы Гаусса, идентично полю точечного заряда Q, помещен­ного в центр шара: . Внутри же внутренней сферы S1 радиуса R1 сосредочен заряд, равный произведению объемной плотности заряда на объем сферы:

где . Полный заряд шара Q и заряд внутреннего объема радиуса R1 Q1 соотносятся как кубы радиусов:

Подставим выражение для Q1 в теорему Гаусса

11. Работа сил электростатического поля.

Рассмотрим электрическое поле, созданное неподвижным зарядом q, в котором переме­щается заряд q₀ из точки 1 в точку 2. На траектории движения заряда q₀ выделим беско­нечно малый отрезок dl и вычислим элементарную работу:dA =Fdlcosα=q₀q/(4πr²ε₀)dr где α – угол между радиус-вектором r и перемещением dl,dr=dlcosα – проекция перемещения dl на направление радиус-вектора, Е=q/(4πr²ε₀)- напряженность поля точечного заряда на рас­стоянии r от него. Полная работа, совершаемая при перемещении пробного заряда q₀ из точки 1 в точку : А₁₂=¹∫₂dA = q₀q/(4πε₀) ¹∫₂dr/r²= q₀q/(4πε₀)[-1/r]|^r2_r1= q₀q/(4πε₀)(1/r₁-1/r₂). Ра­бота, совершаемая силами электрического поля по перемещению заряда не зависит от пути перехода , а является функцией начального r₁ и конечного r₂ расстояний между заря­дом q, создающим поле, и зарядом q₀, в нем перемещающимся. Силовое поле, обла­дающее таким свойством, называется потенциальным. А силы, работа которых не зависит от формы траектории, называются консервативными, сл-но, электростатические силы кон­сервативны.

12. Теорема о циркуляции напряженности электрического поля.

Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю, т.е. = 0 или = 0 .Такой интеграл называют циркуляцией: циркуляция вектора Е равна нулю. Физический смысл этого утверждения заключается в том, что линии вектора Е не могут быть замкну­тыми, они всегда начинаются и заканчиваются на электрических зарядах, и электростатиче­ское поле безвихревое.

13. Потенциал электрического поля. Эквипотенциальные поверхности. Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии, т.е. А₁₂= U₁- U₂ . Потенциальная энергия распределяется с точностью до некоторой постоянной С, за выражение потенциальной энергии можно принять U₁ = + С , U₂ = + С. Функция U (r) должна рассматриваться как потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов q΄ и q , находящихся на расстоянии r друг от друга. Работа А₁₂ и потенциальная энергия U пропорциональны величине пробного за­ряда q΄. Отношение U/q₀ = зависящее от положения пробного заряда, но не зависящее от его численной величины характеризует свойства электрического поля в данной его точке и называ­ется потенциалом этой точки. Тогда работа по перемещению заряда q₀ в электростатическом поле определяется произведением величины переносимого заряда на разность потенциалов на­чальной и конечной точек пути А₁₂=q₀( ₁– ₂)Потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю, т.к. Поэтому можно определить потенциал электрического поля как физиче­скую величину, равную работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного поло­жительного заряда (q₀ = +1) по любому пути из данной точки в бесконечность Потен­циал – скалярная величина, являющаяся энергетической характеристикой электроста­тиче­ского поля. Когда поле образовано несколькими неподвижными зарядами q₁, q₂, q₃ , …, по­тенциал его в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов ₁, ₂, ₃ , …, создавае­мых каждым за­рядом в отдельности, т.е. =∑ Если заряды q₁, q₂, q₃ , … можно считать точечными, то суммарный потенциал будет равен =k(q₁/r₁+ q₂/r₂+…+ q_n/r_n), где r₁, r₂, …. r_n – рас­стояние от зарядов соответственно q₁, q₂, q₃ , … q _n до данной точки поля. Эквипотенциальные по­верхности. Для графического изображения распределения потенциала в электростатическом поле пользуются системой так называемых поверхностей равного потенциала или эквипотенциаль­ных поверхностей. Каждая такая поверхность представляет собой совокупность всех точек поля, имеющих одно и то же значение потенциала = const . Для точечного заряда q потенциал опреде­ляется выражением =q/(4πε₀r) т.е. убывает обратно пропорционально расстоянию r от источника поля. Для точечного положительного заряда силовые линии Е изображены векторами, а пунктиром – эквипотенциальные поверхности – это сферические поверхности, значения потен­циалов которых и

Можно доказать, что вектор Е всюду перпендикулярен по отношению к эквипотенциальным по­верхностям. В противном случае изменилась бы составляющая вектора Е_τ , парал­лельная эквипо­тенциальной поверхности, и работа электрического поля по перемещению заряда q вдоль эквипо­тенциальной поверхности не равнялась бы нулю. А=∫qЕ_τdS≠0. По определению эквипотенциаль­ной поверхности этого быть не может: А=q( - )=0, т.к. Для бесконечной заряженной плоскости силовые линии вектора Е перпендику­лярны плоскости. Эквипотенциальные линии, перпендикулярные к силовым, изображены пунктиром, они представляют собой плоскости, па­раллельные равномерно заряженной бесконечной плоскости. Эта взаимная перпендикулярность силовых линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электростатических полей.