33. Теорема про повноту тригонометричної системи

- функції, квадрат яких інтегрований на будь-якому проміжку . Ці функції інтегровані на у власному або невласному сенсі.

Скалярний добуток (визначає міру відхилення):

, . Цій множині належать всі неперервні функції і не лише вони.

Теорема (про повноту тригонометричної системи)

Тригонометрична система (1) повна в .

Доведення

Система повна в множині функцію цієї множини можна якнайточніше наблизити лінійною комбінацією елементів системи. Це і треба довести.

можна знайти тригонометричний ряд, що наблизить функцію з точністю .

Проведемо доведення в 4 етапи.

може бути необмежена лише в точках . Але існує в невласному сенсі. Це означає, що

Тоді різниця між цими функціями :

Функція - обмежена

Існує проста функція , така що - проста має скінченне число розривів першого роду в деяких точках . , що всі інтервали не мають спільних точок . - співпадає з на інтервалі , i=1,2,3,....,n. На інтервалі - пряма , що поєднує кінці сходинок . Тоді відстань

- неперервно- диференційована, має неперервну похідну . для цієї функції виконано умови теореми Фейєра - тригонометричний поліном, такий що . - множина функцій , квадрат яких інтегрований.

. Можна підібрати так, щоб виконувалась остання нерівність. Тоді

Твердження (єдиність ряду Фур’є)

Нехай - періодичні функції квадрат яких інтегрований). Тоді

а) Якщо тригонометричний ряд збігається в середньому до f на періоді , то він є рядом Фур’є функції f.

б) Якщо f i g мають один і той самий ряд Фур’є, то вони співпадають в усіх точках неперервності.

Доведення

а) наслідок загального твердження про ряди Фур’є по ортогональній повній системі векторів.

б) Випливає з рівності Парсеваля. Ряд Фур’є (f –g) має нульові коефіцієнти

в усіх точках неперервності (f –g)=0 f =g.

34. Перетворення Фур’є, існування, властивості.

Оначення 1

Функція - називається перетворенням Фур’є функції . Під інтегралом на розуміємо головне значення інтеграла.

Зауваження

Якщо - абсолютно інтегрована на R (існує інтеграл від модуля функції в невласному сенсі), то - збігається рівномірно на R для (ознака Веєрштраса для рівномірної збіжності невласних інтегралів).

Означення 2

Якщо перетворення Фур’є , то називається інтегралом Фур’є функції . Цей інтеграл розуміється як інтеграл в головному значенні.

Означення 3

Інтеграли є відповідно косинус і синус перетворення Фур’є функції.

Якщо то отримуємо . Перетворення Фур’є повністю визначається своїми значеннями для невід’ємних t.

інтеграл Фур’є можна подати у вигляді

Твердження

Якщо - локально - інтегрована і абсолютно інтегрована на R, то

1) Її перетворення Фур’є визначено .

2) (неперервно)

3)

4) .

Доведення

1) Оскільки і - збігається за ознакою

3) Вейєрштраса перетворення Фур’є існує для всіх .

.

4) За лемою Рімана (вимога до функції за лемою Рімана – абсолютна інтегрованість. В даному випадку це виконується.)

- абсолютно інтегрована.

2) Неперервність

Оскільки інтеграл збігається абсолютно і абсолютно то це справджується і для граничної функції.

, як границі рівномірно збіжної послідовності граничних функцій.