28. Поточкова збіжність тригонометричних рядів Фур'є

Часткові суми рядів Фур’є

- часткова сума ряду Фур’є.

Але - ядро Діріхле. Крім того, це геометрична прогресія із знаменником

.

Позначимо . Тоді ядро Діріхле матиме вигляд

Останній перехід зроблено з урахуванням того, що .

Ядро Діріхле можна записати в більш простому вигляді

Властивості ядра Діріхле

1) - парна функція

2)

3)

Оскільки

= при .

Зробимо заміну

=

=

розглянемо останню рівність для 2 - періодичних функцій

Використовуючи парність ядра Діріхле маємо:

29. Лема Рімана та наслідок з неї.

Якщо функція інтегрована на будь-якому інтервалі і абсолютно-інтегрована (можливо, в невласному сенсі) на всьому інтервалі , то

при , .

Доведення

1)Якщо , при .

2) В загальному випадку

такий що

Фіксуємо , тоді інтегрована на - послідовність простих функцій, що рівномірно збігаються до на

послідовність і (оберемо таку послідовність функцій).

(множення на обмежену функцію не впливає на рівномірну збіжність)

Але

Розбиваємо відрізок на m частин, на кожному з яких функція приймає значення константи значення простої функції при .

В силу довільності при .

Зауваження 1

Якщо то

Отже при , з аналогічних міркувань отримуємо при .

Зауваження 2

Для справедлива нерівність Бесселя. З нерівності Бесселя випливає що

та при .

Наслідок з леми Рімана

Оскільки

+

Якщо - абсолютно інтегрована, то теж абсолютно інтегрована на проміжку

Збіжність ряду Фур’є в точці х повністю визначається поведінкою функції f в як завгодно малому околі цієї точки.

Теорема (принцип локалізації)

Нехай , - інтегровані дійснозначні або комплекснозначні функції , визначені на інтервалі і абсолютно інтегровані (можливо, в невласному сенсі) на інтервалі . Тоді якщо і співпадають в як завгодно малому околі точки х, то їх ряди Фур’є збігаються і розбігаються в цій точці одночасно,

,

і якщо збігаються, то їх суми співпадають.

30. Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці.

Означення

задовольняє в точці умові Діні , якщо виконуються такі умови:

1. В точці х існують границі справа і зліва

2) таке , що - збігається абсолютно, збігається для всіх (інтеграл може бути невласним).

Приклади функцій для яких виконується умова Діні.

1)Умова Діні виконується для всіх функцій, для яких виконується умова Гьольдера.

Умова Діні виконується , якщо , M=const.

Наприклад, умова Гьольдера виконується при для будь-якої функції, що має кусково-неперервну похідну. На будь-якому шматку неперервності маємо .

Теорема (Достатня умова збіжності ряду Фур’є в точці)

Нехай . -перідична функція, абсолютно інтегрована на періоді.

Якщо задовольняє умовам Діні то її ряд Фур’є збігається в т. Х , при чому ми можемо сказати до якого числа він збігається .

Доведення

Оскільки (з властивостей ядра Діріхле)

тоді

, за Лемою Рімана.

При .

Функція абсолютно інтегрована на інтервалі (наслідок з умови Діні) з леми Рімана теж випливає, що

отже . Теорему доведено.