11. Ряд Лорана аналіт.Функції, його єдинственність для анал.Функц.

Розглянемо ряд (1) Заміна - степеневий ряд, збігається абсолютно і рівномірно всередині кола . Ряд (1) збігається абсолютно і рівномірно при

Область збіжності ряду (1) – це область зовні кола .

Можливі випадки :

1) Якщо , то ряд (1) розбігається в усіх скінченних точках.

2) Якщо , то ряд збігається абсолютно і рівномірно зовні кола та розбігається всередині цього кола.

3) Якщо , то ряд збігається скрізь, крім самої точки .

Отже, в області збіжності ряд (1) визначає аналітичну функцію

При можемо вважати, що аналітична в точці .

Означення

Рядом Лорана в точці називається ряд виду

Цей ряд розуміють як суму двох рядів : і . Він називається збіжним тоді і тільки тоді, коли збігаються обидва ці ряди.

Перший ряд збігається при , другий – при . Таким чином, ряд Лорана збігається тоді і тільки тоді, коли і область збіжності його – це кільце . В цьому випадку обидва ряди збігаються рівномірно і абсолютно, тоді їх сума – аналітична функція , (2)

( ).

Визначимо зв’язок коефіцієнтів ряду (2) з його сумою.

Нехай . На колі ряд (2) збігається рівномірно, і він також буде збігатись рівномірно, якщо його помножити на обмежену функцію

- рівномірно збігається в точках кола можна інтегрувати почленно на : (з попередніх лекцій відомо, що ).

В правій частині всі інтеграли рівні 0, крім інтеграла для (в цьому випадку ).

Отже, .

Наслідок

Якщо суми двох рядів Лорана і , що збігаються в кільцях відповідно, співпадають на колі (спільне для ), то , тобто ряди тотожні.

Висновок

Розклад в рад Лорана має властивість єдиності.

12. Теорема Лорана про розвинення анал.Функції в ряд Лорана

Будь-яка функція , однозначна і аналітична в області D ( ) може бути представлена в цьому кільці збіжним рядом Лорана .

Зауваження

Охоплюються випадки:

1) круг без центра – точки

2) зовні кола

3) вся площина без точки

Доведення

Тоді в області функція аналітична. Має місце інтегральна формула Коші : .

1) На маємо

(як сума геометричної прогресії із знаменником ).

- аналітична на неперервна, обмежена, тоді на рівномірно збігається і ряд його можна почленно інтегрувати:

2) На маємо :

- неперервна, обмежена в точках ряд буде збігатися рівномірно і після множення на :

.

Можна інтегрувати на почленно :

Таким чином, отримали

(з теореми Коші для багатозв’язних областей випливає, що

). Доведено.

13. Ізольовані особливі точки. Класифікація.

Нехай f(z) – однозначна, аналітична в деякому околі (можливо, проколотому) точки , .

Можливі випадки:

1) Існує скінченна границя Тоді, поклавши , отримуємо аналітичну функцію (в точці також). Тоді точка називається правильною для f(z) .

2)

або

3) не існує

В цих випадках називається ізольованою особливою точкою функції f(z) .

Розглянемо ряд Лорана в околі точки :

(1)

(Частина ряду Лорана з від’ємними степенями називається головною частиною, а чистина з невід’ємними степенями називається правильною частиною).

(2)

Якщо f(z) аналятична і однозначна при , то буде правильною для тоді і тільки тоді, коли обмежена в деякому околі точки .

Якщо - ізольована особлива точка функції , то необмежена в будь-якому околі , і навпаки.

необмежена – має місце два випадки:

1) точка називається полюсом функції .

2) не існує ( , існує) - називається суттєво особливою точкою.