[Править]Задача, приводящая к уравнению Кеплера

Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что

.

Здесь r — расстояние от до тела от гравитирующего центра, υ — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело, μ = GM₀ — произведениепостоянной тяготения на массу гравитирующего тела, a — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:

.

Здесь t_p — время прохождение через перицентр.

Для дальнейшего решения этой задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.

[Править]Эллиптическая орбита

Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

Тогда уравнение для времени приобретает вид

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

Величина (μ/a)^1/2 является средней скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина характеризует среднее смещение тела по орбите за период.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

[Править]Гиперболическая орбита

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы:  ,  . Тогда уравнение для гиперболы принимает вид

,

а связь между υ и H

.

Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

Величина H называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку  , то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:

.

Отсюда видно, что E = iH.

[Править]Параболическая орбита [править]Радиальная орбита [править]Решение уравнения Кеплера

Для круговой орбиты (ε = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:

,

где

- функция Бесселя.

Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.

31/ Орбитальная скорость

 тела (обычно планеты, естественного или искусственного спутника, кратной звезды) — это скорость, с которой оно вращается вокруг барицентрасистемы, как правило вокруг более массивного тела.

Орбитальная скорость ( ) вычисляется по следующим формулам:

• в общем виде: 

  • для эллиптической орбиты: 

  • параболическая траектория: 

  • гиперболическая траектория: 

где:

•  — гравитационный параметр

•  — расстояние между вращающимся телом и центральным телом

•  —удельная орбитальная энергия

•  — длина большой полуоси

При этом

• эллиптические скорости   соответствуют движению по эллиптическим траекториям

  • частным случаем эллиптической скорости является круговая, или первая космическая скорость

• параболическая скорость   соответствует движению по параболической траектории и называется так же второй космической скоростью

• гиперболические скорости   соответствуют движению по гиперболическим траекториям

Примечание:

• Скорость однозначно не зависит от орбитального эксцентриситета, но определяется длиной большой полуоси ( ).