Лекция 4
источнике питания =
IL
e –j
90. Мощность цепи S
= QL=
XLIL2
, P = 0. Коэффициент
мощности cos φ
= 0 , φ = + 90º.
,
.
Комплексное сопротивление цепи
,
XL
= 2πƒL, R = 0, φ =
arctg(XL/R)
= 90˚, XL/0
= ∞, arctg ∞ = 90°.
Ток цепи İL=
/Z
L =
Ue j
0/XLe+j
90˚ = (U/XL)
e –j
90˚ =
Трансформаторы, электрические двигатели, дроссели, кроме активного сопротивления обладают индуктивным сопротивлением. Индуктивностью обладают все проводники с током. В ряде случаев она мала и ею пренебрегают, но значительна там, где обмотки катушек состоят из большого числа витков провода.
Индуктивность возрастает, если магнитный поток замыкается по пути с малым магнитным сопротивлением (например, по стальному сердечнику).
Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L, у которой активное сопротивление равно 0.
Электрическая цепь с индуктивным элементом
Пусть к цепи с приложено напряжение u = Umахsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i, который создает магнитный поток Ф. Согласно закону электромагнитной индукции магнитный поток Ф индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции
еL = -wdФ/dt = -Ldi/dt,
где w - число витков катушки.
Знак «минус» согласно принципу электромагнитной индукции (закон Ленца) указывает на то, что еL всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.
На рисунке показаны условные положительные направления напряжения u, тока i, ЭДС самоиндукции eL на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление ЭДС еL выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно напряжению на катушке uL.
По II ЗК имеем u - uL = 0, а с учетом того, что uL = - еL, получаем
u = eL = 0
Тогда
Umах sinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = Umахsinωt/L.
При решении этого уравнения получаем выражение для тока в цепи
i = (Umах/L)sinωtdt = - Umахcosωt/ωL = Umахsin - π/2)/ωL =
= Imахsin(ωt - π/2).
Таким образом, в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.
Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = = Ом.
Это индуктивное сопротивление
XL = ωL = 2πfL.
Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности.
Тогда
Imах= Umах/XL, или I = U /XL.
Так как ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то
XLI = U = ЕL
Следовательно, индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током i и ЭДС самоиндукции eL.
Запишем комплексные напряжение и ток цепи
= Ue j0, ψu = 0o;
İ = Ie -j90, ψi = - 90o.
Сдвиг по фазе между напряжением и током
φ = 0° – (-90° ) = +90o
Комплексное сопротивление цепи
Z = /İ = Ue j0/Ie -j90 = XLej90 = jXL.
Таким образом, комплексное сопротивление цепи с L-элементом равно положительному мнимому числу.
Модуль комплексного сопротивления
Z = XL
Мощность цепи с L-элементом
P = ui = Umахsinωt - Imахsin(ωt-90°) = -UIsin2ωt.
т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода ток направлен от цепи к источнику питания, а во вторую и четвертую – от источника питания к цепи. Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью QL = UI, равной амплитуде мгновенного по направлению с ЭДС самоиндукции, мощность отрицательна и энергия передается от катушки к источнику питания, а во вторую и четвертую четверти периода энергия запасается в магнитном поле катушки.
Выразим полную мощность цепи в комплексной форме
S = = Sejφ = UIcos90° + jUIsin90° = jUI
QL = UI = XLI2,
где QL – реактивная мощность цепи (вар, квар, мвар).
Полная мощность цепи с L-элементом равна реактивной мощности.
Векторная, временная диаграммы цепи с идеальной индуктивностью а также изменение мощности представлены на рисунках.
Временная диаграмма Векторная диаграмма
цепи с L-элементом с L- элементом