Метод узловых напряжений (метод двух узлов)
Метод узловых напряжений целесообразно применять для расчета электрических цепей, имеющих несколько параллельных ветвей, сходящихся в двух узловых точках.
Направление узлового напряжения UAB выбираем произвольно, например от A к B. Направление обхода контуров – по движению часовой стрелки. Произвольно выбираем направление токов в ветвях.
Схема электрической цепи с двумя узловыми точками
Согласно II ЗК, запишем для электрической схемы:
-E1 = - I1(R1 + R4) + UAB,
E2 = - I2(R2 + R5) + UAB,
0 = - I3(R3 + R6) + UAB.
Определим токи ветвей:
I1 = (E1 + UAB)/ (R1 + R4) = (E1 + UAB)G1; G1 = 1/(R1 + R4),
I2 = (-E2 + UAB)/(R2 + R5) = (-E2 + UAB)G2; G2 = 1/(R2 + R5),
I3 = UAB/(R3 + R6) = UABG3; G3 = 1/(R3 + R6).
Для узловой точки В:
I1 + I2 + I3 = 0.
Тогда узловое напряжение UAB определяется по формуле
UAB = (E1G1 - E2G2 )/(G1 + G2 + G3).
Из приведенной формулы следует, что при совпадении направлений ЭДС и узлового напряжения произведение этой ЭДС на проводимость следует брать со знаком «-».
Если токи ветвей получатся со знаком «-», значит, произвольно выбранные направления токов не соответствуют действительным.
Уравнение баланса мощностей электрической цепи
Правильность расчета электрической цепи проверяется составлением баланса мощностей.
В электрической цепи всегда сохраняется баланс мощностей: мощность, выработанная источником питания, равна мощности, потребляемой приемниками электрической энергии. Это положение вытекает из закона сохранения энергии.
Рист = Рпр.
Мощность источников электрической энергии:
Мощность, потребляемая приемниками электрической энергии:
Составим для электрической схемы баланс мощностей
E1I1 - E1I3 + E1I4 = (R1 + R2)I12 + R3I32 + R4I42 + R5I52 + R6I62 + R7I72.
При составлении баланса мощностей следует обратить внимание на направление тока и ЭДС источника питания: если направления тока и ЭДС совпадают, то их произведение учитывается со знаком «+» (источник питания), а если не совпадают - со знаком «-» (фактически, это не источник питания, а приемник электрической энергии – аккумуляторная батарея, работающая в режиме заряда и др.).
Потенциальная диаграмма
Потенциальная диаграмма – график распределения потенциала в цепи в функции сопротивления участков цепи φ = f(R).
Построим потенциальную диаграмм для внешнего контура 1-2-3-4–5‑6-1 электрической схемы.
Электрическая схема к построению потенциальной диаграммы
Примем потенциал φ точки 1 равным 0. Тогда φ1 = 0; φ2 = φ1 + E1;
φ3 = φ2 - R1I1; φ4 = φ3 - R2I1; φ5 = φ4 - R4I4; φ6 = φ5 + E3;
φ1 = φ6 + R7I7 = 0
Потенциальная диаграмма к электрической схеме
Лекция 3
Однофазные электрические цепи
синусоидального тока
Основные понятия и определения
В электрических цепях электро-, радио- и других установках широко применяются периодические ЭДС, напряжения и токи. Периодические величины изменяются во времени по значению и направлению. Эти изменения повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом.
T
0
0
0
T
t
e
e
t
e
T
t
a
б
в
e
e
wt
wT
wT
wt
e2
e1
0
0
Em
г д
Переменные периодические ЭДС е различной формы: а – прямоугольной; б – трапецеидальной; в – треугольной; г – произвольной; д – синусоидальной
На практике все источники энергии переменного тока (генераторы электростанций) создают ЭДС, изменяющуюся по синусоидальному закону (рис. д).
Основное преимущество такого закона изменения ЭДС и напряжения заключается в том, что в процессе передачи электроэнергии на большие расстояния (сотни и даже тысячи километров) от источника до потребителя при многократной трансформации напряжения временная зависимость напряжения остается неизменной, т. е. синусоидальной.
Электрические цепи, в которых действуют синусоидальные ЭДС и токи, называются электрическими цепями синусоидального тока. К ним относятся понятия схемы цепи, контура, ветви и узла, которые были даны для цепей постоянного тока.
В линейных электрических цепях синусоидального тока ЭДС, напряжения и токи изменяются во времени по синусоидальному закону , например,
e = Emах sin(wt ± Ye),
u = Umах sin(wt ± Yu),
i = Imах sin(wt ± Yi),
где e, u, i - мгновенные значения синусоидальных величин в рассматриваемый момент времени t; Emах, Umах, Imах - максимальные значения синусоидальных величин, так называемые амплитуды;
Фаза (фазовый угол) - аргумент синусоидальной величины, определяет мгновенное значение синусоидальной величины при заданной амплитуде с течением времени:
(wt ± Y),
где w - угловая частота синусоидального тока, показывающая число радианов, на которое увеличивается текущая фаза за 1 секунду. За время одного периода Т фаза синусоидального тока изменится на 2π = wТ, т. е.
w = 2π /T = 2πƒ,
где ƒ – частота – величина обратная периоду 1/Т, т. е. число полных изменений синусоидальной величины за 1 с, Гц.
= ψu
-
ψi,,
где - сдвиг фаз - разность начальных фаз синусоид напряжения и тока ; Y - начальная фаза в момент времени t = 0; ψu - начальная фаза напряжения, ψi - начальная фаза тока.
Наглядное представление об изменениях синусоидальных e, u, i дают временные диаграммы e = f(ωt), u = f(ωt), i = f(ωt).
На временных диаграммах начальная фаза – это угол между началом координат и началом положительной полуволны. Положительная начальная фаза откладывается влево от начала координат, а отрицательная - вправо. Знак начальной фазы определяется знаком мгновенного значения при t = 0.
u = Umахsin(ωt + ψu),,
i = Imахsin(ωt - ψi).
Синусоидальные напряжения и ток, сдвинутые по фазе на φ
Во всех энергосистемах в качестве стандартной промышленной частоты принята частота f = 50 Гц, а в Японии и США f = 60 Гц. Это обеспечивает получение оптимальных частот вращения электродвигателей переменного тока и отсутствие заметного для глаза мигания источников света.
Однако находят применение и другие частоты: 175–200 Гц для работы электродвигателей привода средств автоматики и электроинструмента; для горячей штамповки и ковки применяют частоту от 500 до 10 000 Гц, в установках поверхностного нагрева металла от 2000 до 106 Гц; в радиотехнических устройствах от 105 до 3 ·1010 Гц; в металлургической промышленности от 5 до 10 Гц.
Синусоидальный ток используется так же, как постоянный ток – для совершения работы, в процессе которой электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии.
Для количественной оценки синусоидального тока используют значение эквивалентного ему постоянного тока - эквивалентное значению синусоидального тока по совершаемой работе. Такое значение называется действующим.
Действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при прохождении которого по одному и тому же сопротивлению R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты, сколько при прохождении синусоидального тока.
Количество теплоты Q, выделяемое в резисторе R за время Т при синусоидальном токе:
Q~ = і2Rdt,
а при постоянном токе
Q_ = RI2T.
Согласно определению, Q~ = Q_, тогда действующее значение тока I равно
Таким образом, действующее значение синусоидального тока является его среднеквадратичным значением.
Для определения соотношения между максимальным и действующим значениями синусоидального тока, вычислим интеграл :
так как
получим
Подставляя это выражение в формулу , получаем
;
.
Электрические приборы, работающие в цепях синусоидального тока, используют принцип теплового, или электродинамического, эффекта. Поэтому они показывают действующее значение измеряемых величин.
Приборы магнитоэлектрической системы показывают среднеарифметическое значение синусоидального тока, которое называют средним значением. За среднее значение синусоидального тока принимают такое значение постоянного тока, при котором за половину периода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе.
Согласно этому
где Iср – среднее значение тока.
Для синусоидального тока Iср = Imax sinωt, тогда
Таким образом,
Iср = 2Imax / π = 0,637 Imax
Аналогично
Еср = 2Еmах /π = 0,637Еmах,
Uср = 2Umах/π = 0,637Umах.