Цепь с последовательным соединением резистивного и индуктивного элементов

Пусть напряжение источника питания U = 220 е^j0; ψ = 0; R= 8 Ом;

X_L= 6Ом.

Электрическая цепь

с последовательным соединением R и L

Комплексное сопротивление цепи

Z_{экв .} =

Z_экв = 10е ^+j ; = arctqX_L/R = 37°

Ток цепи İ = /Z_экв. = 220e^j0/10е^+j37 = (220/10)e^{j(0 -37)} = 22e^-j37,

j_I = –j = –37°.

Напряжения участков цепи = Rİ = 8 ∙ 22e^-j37 = 176e^-j37;

U_L = jX_LIe^-j37 = X_Lе^j90° Ie^{- j37} = 6е^j90 · 22e^-j37 = 132e^j53

Векторная диаграмма цепи с последовательным соединением R и L приведена на рисyнке.

Электрическая цепь с последовательным соединением R и L

Мощность цепи в комплексной форме

S = = Ue^j0Ie^+jψ_i = 220e^j022e^j37) = 4840^j37 = 4840cos37^o +

+ 4840sin37^o = 3872 + j2904.

Активная мощность цепи P = Scosφ = RI² = 3872 Вт,

Реактивная мощность цепи Q_L = Ssinφ = X_LI² = 2904 вар,

Коэффициент мощности соsφ = Р/S = 0,8.

Цепь с емкостным элементом

Конденсатор – это элемент электрической цепи, обладающий емкостью. Конденсатор состоит из двух пластин с большой поверхностью, выполненных из проводникового материала и разделенных диэлектриком. Емкость конденсатора определяет тот электрический заряд, который накапливается на пластинах при разности потенциалов между ними в 1 В.

При подаче на конденсатор синусоидального напряжения в силу того, что напряжение непрерывно меняется по значению и направлению, меняется и заряд на пластинах конденсатора. Это изменение заряда и связанное с ним движение электронов и есть электрический ток в цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника питания и конденсатора емкостью С.

Электрическая цепь с С-элементом

Пусть напряжение источника питания = Ue ^j0, ψ_u = 0º. Под действием напряжения в цепи возникает ток I и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд Q = Cu_c, где u_с - падение напряжения на конденсаторе.

По II ЗК Кирхгофа для цепи имеем u = u_c.

Следовательно, ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени

i = dQ/dt = ωCU_mахcosωt = ωCU_mахsin(ωt + π/2) =

= I_mахsin(ωt + π/2),

где амплитуда тока

I_mах = ωCU_mах = U_mах/(1/ωC).

Таким образом, в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина 1/ωC имеет размерность сопротивления, с/Ф = сВ/Кл = = сВ/сА = Ом). Это емкостное сопротивление

X_с = 1/ωC = 1/2πfC.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости конденсатора.

Запишем комплексные напряжение и ток цепи

= Ue^j0; ψ_u = 0º;

İ = Ie ^j90; ψ_i = + 90º;

Сдвиг по фазе между напряжением и током

φ = ψ_u - ψ_i = 0º - 90º = - 90º.

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = Ue^j0/Ie^j90 = Х_сe^-j90 = -jX_с.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с С-элементом равно отрицательному мнимому числу. Модуль комплексного сопротивления

Z = X_с.

Мощность цепи

Р = ui = U_mахsinωtI_mахsin(ωt + 90°) = UIsin2ωt,

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода, когда ток совпадает по направлению с напряжением, мощность положительна и энергия передается от источника питания к цепи, а во вторую и четвертую четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора.

Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью Q_с, равной амплитуде мгновенного значения мощности.

Выразим полную мощность цепи в комплексной форме

S = = Se^-jj = UIcos90° - jUIsin90° = -jUI;

Q_с = UI = -X_сI²,

где Q_{с – реактивная мощность цепи, вар, квар, мвар.}

Полная мощность цепи с С-элементом равна реактивной мощности.

Изменение мощности цепи с С-элементом, а также векторная и временная диаграммы представлены на рисунках.

Временная диаграмма Векторная диаграмма

цепи с С-элементом цепи с С-элементом