6. Период колебаний тела, подвешенного на пружине ( пружинный

маятник),

T = 2π√m/k,

где m − масса колеблющегося тела, k − жесткость пружины.

7. Период колебаний математического маятника

T = 2π√l/g,

где l − длина нити; g − ускорение свободного падения.

8. Период колебаний физического маятника

T =2π√Jo/mga = 2π√L/g,

где Jo − момент инерции физического маятника относительно оси колебаний; a −

расстояние центра масс маятника от оси колебаний; m −масса маятника;L=Jo/(ma)

− приведённая длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая малых амплитуд. При

конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При

амплитудах не более ≈ 3º ошибка в значении перида не превышает 1%.

9. Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

T = 2π√Jo/D,

где Jo − момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью;

D − модуль кручения, равный отношению упругого момента, возникающего при

закручивании, к углу, на который нить закручивается.

11.Сложение колебаний

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух

колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определя-

ется по формуле

A² = A1² + A2² + 2 A1 A2 cos (φ2 − φ1),

где А1 и А2 − амплитуды составляющих колебаний; φ1 и φ2 − их начальные фазы.

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из фор-

мулы

tg φ = (A1sinφ1 + A2sinφ2)/(A1cosφ1 + A2cosφ2).

33

Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, проиисходящих

по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами v1 и v2,

v = v1 − v2.

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных

колебаниях с амплитудами А1 и А2 и начальными фазами φ1 и φ2,

x²/A1² + y²/A2² − 2xycos(φ2 − φ1)/A1A2 = sin²(φ2 − φ1).

Если начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний одинаковы, то

уравнение траектории принимает вид

у = (А2/A1)x или у = −(А2/A1)x,

если разность фаз Δφ= φ2 − φ1 = π; в обоих случаях точка движется по прямой.

В случае, когда разность фаз Δφ= φ2−φ1 = π/2, уравнение принимает вид

х²/A1² − y²/A2² = 1,

т.е. точка движется по эллипсу.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точ-

ки

md²x/dt² = − kx, или d²x/dt² + ω²x = 0,

где m − масса точки; k − коэффициент квазиупругой силы(k = mω²).

Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m

Eк = mv²/2 = (mA²ω²/2) sin²(ωt + φ).

Потенциальная энергия колеблющейся точки

Еп = (mA²ω²/2) cos²(ωt + φ).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колеба-

ния

Е =1/2 mA²ω² =1/2 kA².

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

m d²x/dt² = −kx − rdx/dt, или d²x/dt² + 2δdx/dt + ωo²x = 0,

где r − коэффициент сопротивления; δ − коэффициент затухания: δ =r/(2m);

ωo − собственная угловая частота колебаний ( в приведенных выше формулах

гармонических колебаний эта же величина обозначалась просто ω (без индек-

са o)

ωo = √k/m .

Уравнение затухающих колебаний

x(t) = A(t)cos(ωt + φ),

34

где A(t) − амплитуда затухающих колебаний в момент времени t; ω − их уг-

ловая частота.

Угловая частота затухающих колебаний

ω = √ ωо² −δ² .

Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

А(t) = Ao exp(−δt),

где Ао − амплитуда колебаний в момент t = 0.

Логарифмический декремент колебаний

Θ = ln[ A(t)/A(t+T)] = δT,

где А(t) и А(t + T) − амплитуды двух последовательных колебаний, отсто-

ящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

md²x/dt² = − kx − rdx/dt + Focosωt, или d²x/dt² + 2δdx/dt + ωo²x = focosωt,

где Fo cosωt − внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся ма-

териальную точку и вызывающая вынужденные колебания; Fo − её амплитудное

значение; fo = Fo/m .

Амплитуда вынужденных колебаний

A = fo/√(ωo² − ω²)² + 4δ²ω².

Резонасная частота и резонансная амплитуда

ωрез = √ωо² − 2δ² и Арез = fo/(2δ√ωo² + δ²).