Задачи на классическую вероятность

1. Из слова "НАУГАД" выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что: а) это буква "Я"; б) это гласная?

2. В урне имеются 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар: а) белый; б) черный?

3. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения номера 5 на верхней грани упавшей на стол кости? Какова вероятность выпадения номера большего или равного 5?

4. В партии транзисторов 12 стандартных и 2 бракованных. При контроле оказалось, что первые 5 транзисторов стандартны. Найти вероятность того, что следующий транзистор будет стандартным.

5. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее 9 очков? Какова вероятность выпадения единицы, по крайней мере, на одной кости?

6. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 студентов третьего курса. Из этого состава выбирают 5 человек. Найти вероятность, что: а) все первокурсники попадут в совет; б) в совет будет избран 1 первокурсник, 2 второкурсника и 2 студента 3-го курса.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. В библиотеке 15 учебников, из которых 5 в переплете. Найти вероятность того, что из трех наудачу выбранных учебников хотя бы один в переплете.

2. Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?

3. Три стрелка стреляют в мишень. Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, второй с вероятностью 0,8, а третий с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена? Найти вероятность того, что будет два попадания.

4. При включении двигатель начинает работать с вероятностью р. а) Найти вероятность того, что двигатель начнёт работать с второго включения. б) Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется не более двух включений.

Полная вероятность. Формула Бейеса

1. Имеются два ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1черный шар, во вором 1 белый и 4 черных шара. Наугад выбирают один ящик и вынимают один шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым? Ответ: 13/30

2. По самолету производится три одиночных выстрела из зенитного орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором — 0,5, при третьем — 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий. При одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,2, а при двух попаданиях — с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя. Ответ: 0,458

3. Имеются две урны: в первой 3 белых шара и 2 черных; во второй 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают, два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. Ответ: 0,52

4. На фабрике, изготовляющей шурупы, первая машина производит 25 %, вторая — 35 %, третья — 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5 %, 4 % и 2 %. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный шуруп дефектный? б) Случайно выбранный из продукции шуруп оказался дефектный. Какова вероятность того, что он был произведен на первой, второй, третьей машине? Ответ: а) 0,0345; б) 125/345, 140/345, 80/345