52. Инвариартность формы дифференциала.
Если 
,
то из (7.4) имеем 
.
Рассмотрим
сложную функцию 
,
где 
.
Если
функции 
и
дифференцируемые
функции от своих аргументов, то производная
сложной функции равна 
.
Умножим
обе части равенства на
: 
.
Таким образом, 
.
53. Производные высших порядков.
Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде
Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:
Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как
Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:
В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид
54. Формула Лейбница
Пусть y = u·v, где u и v — некоторые функции от переменной x, имеющие производные любого порядка. Тогда
.
где 
есть
число сочетаний из n элементов
по k (k =
0, 1, 2, …, n).
Доказательство. Для k =
1 имеем
для k = 2 имеем
для k = 3 имеем
Правые части полученных равенств похожи на разложения различных степеней бинома (u + v)n по формуле Ньютона, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами функции u и v для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как «производные нулевого порядка»: u(0) и v(0). Пусть формула Лейбница справедлива при k = n:
.
Докажем, что формула справедлива при k = n + 1. Действительно, в этом случае
Здесь
воспользовались свойством сочетаний 
.
Изменим индекс суммирования во второй
сумме, положив k = p -
1. В этом случае
и в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. После обозначения общего индекса суммирования черезр, будем иметь
.
Так
как 
и 
,
получим
.
55. Дифференциалы высших порядков.
Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):
δ (d y) = δ [f ' (x) d x] = [f ' (x) d x] ' δ x = f '' (x) d(x) δx .
Дифференциал δ (d y) от дифференциала dy в точке x, взятый при δx = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d2y, т.е.
d2y = f ''(x)·(dx)2.
В свою очередь, дифференциал δ(d2y) от дифференциала d2y, взятый при δx = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f(x) и обозначается d3y и т.д. Дифференциал δ(dn-1y) от дифференциала dn-1f, взятый при δx = dx, называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f(x) и обозначается dny. Докажем, что для n - го дифференциала функции справедлива формула
dny = y(n)·(dx)n, n = 1, 2, … (3.1)
При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n- 1
dn−1y = y(n−1)·(dx)n−1,
и функция y(n-1)(x) дифференцируема в некоторой точке x. Тогда
Полагая δx = dx, получаем
что и требовалось доказать. Для любого n справедливо равенство
или 
т.е. n - я производная функции y = f ( x ) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.