50. Дифференцируемость функции.

Дифференцируемость функции

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называетсядифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, идифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

В силу геометрического смысла производной следующие два свойства равносильны друг другу: 1) функция  дифференцируема при  ; 2) график этой точки имеет касательную в точке  , не параллельную оси ординат (т.е. с конечным угловым коэффициентом).

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть в некоторой точке области определения функции  существует конечный предел

Запишем  приращение функции в виде

и найдём

Следовательно, если  , то и  , а это означает, что функция  непрерывна в рассматриваемой точке.

Таким образом, из дифференцируемости функции вытекает её непрерывность. Обратная теорема неверна, так как существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках являются недифференцируемыми.

Пример 3. Функция

непрерывна в точке  , но не дифференцируема в этой  точке, так как в ней график не имеет касательной. (рис. 79).

Из сказанного выше следует, что непрерывность в точке x является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке, так как из непрерывности функции в точке  не всегда следует дифференцируемость в этой точке.

51. Дифференциал функции. Связь с производной, геометрический смысл.

Пусть функция   определена на промежутке   и дифференцируема в окрестности точки  ,тогда   или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем  , где   - бесконечно малая величина при  . Отсюда:

.          ( 7.1)

Таким образом, приращение функции   состоит из двух слагаемых:

1)   - линейного относительно  , т.к.  ;

2)   - нелинейного относительно  , т.к.  .

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно   часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

.            ( 7.2)

Пример. Найти приращение функции   при   и  :

Решение.  , 

Пример. Найти дифференциал функции  .

Решение. По формуле (7.2.) имеем  .

Определение. Дифференциал независимой переменной   равен приращению этой переменной:

          ( 7.3)

Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:

                  ( 7.4)

Откуда  , поэтому   можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем   и знаменателем  .

Геометрический смысл. На графике функции   (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку  . Дадим аргументу   приращение  , тогда функция получает приращение  . В точке   проведем касательную, образующую угол   с осью  . Из треугольника  :  . Из   имеем:  . Таким образом,   и соответствует формуле (7.1).

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции   в данной точке, когда   получает приращение  .