48. Функции, заданные параметрически и их дифференцирование.

  До сих пор функция записывалась в явном виде y= f(x) и в неявном F(x,y)=0. Но существует еще третий вид аналитического представления функции - это представление её в па раметрической форме в виде двух уравнений

где t - вспомогательная переменная, называемая параметром.   Заметим, что функция может быть представлена в параметрической форме различными способами.   Например, функция, записанная в неявном виде x² + y² = 1 может быть представлена в явном виде:   и в параметрической форм е:

  Заметим, что x² + y² = 1 есть уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат.   В первом параметрическом представлении уравнения x² + y² = 1 параметр t изменяется от -1 до +1 и равен абциссе подвижной точки окружности, во втором случае параметр t изменяется от 0 до 2p и равен углу, образованному радиусом подвижной точки и осью Ox.   Если функция задана в явном виде y=f(x), то всегда можно записать её в неявном виде y-f(x)=0, а также в параметрической форме

От вида F(x,y)=0 не всегда возможно перейти к виду y=f(x) или x=j (y), так как уравнение F(x,y)=0 может оказаться неразреш имым относительно yили x .   Лего перейти от параметрического представления функции к уравнению вида y=f(x). Для этого из первого уравнения x=x(t) нужно найти t=t(x), если конечно это возможно , и подставить его во второе уравнение y=y(t)

y=y[t(x)]=f(x)

   От параметрического представления функции к уравнению вида F(x,y)=0 можно прийти путем исключения параметра t, если это возможно.    Уравнения y=f(x) и F(x, y)=0 служат различными аналитическими представлениями одной и той же функции F[x, f(x)]=0. Параметрические уравнения

и уравнение F(x, y)=0 представляют одну и ту же функцию, если F(x(t), y(t))=0.    Наконец, параметрические уравнения определяют ту же функцию, что и уравнение y=f(x), если

y(t)=f [ x(t) ].

   Найдем производную функции y по x в случае, когда она задана в параметрическом виде. Для этого будем рассматривать t как функцию от x. То естьt=t(x). Тогда y=y[t(x)]. Продифференцируем y как сложную функцию от x, т.е. по формуле

и применим формулу, связывающую производные обратных функций:

   Введя обозначения ,       

получим

   Теперь найдем вторую производную от функции, заданной в параметрической форме.    Из предидущего уравнения и определения второй производной следует, что

Но

Следовательно

   Где

49. Гиперболические функции. Их свойства и дифференцирование.

  В приложениях показательные функции часто встречаются в комбинациях

Вследствие этого эти комбинации получили особые названия. Первую называют гиперболическим косинусом, обозначая его через ch x (cos hyp х), а вторую - гиперболическим синусом, обозначая его через sh x (sin hyp x). Таким образом имеем

Эти обозначения и названия введены по аналогии с известными формулами Эйлера для тригонометрических функций

Исходя из равенств, определяющих sh x и ch x, можно развить теорию гиперболических функций. Формулы ее весьма схожи с формулами обыкновенной тригонометрии. Нетрудно проверить, что

ch (- х) = ch х, sh (- х) = - sh x, ch xi = cos x, sh xi = i sin x, ch² x - sh² x = 1.

Рассматривают также гиперболические тангенс и котангенс, определяя их с помощью равенств

Теорема сложения для гиперболических функций имеет вид

ch (x + y) = ch x·ch у + sh x·sh у, sh (x + y) = sh х·ch у + sh y·ch x.

   Нетрудно видеть, что

sh 2х = 2 sh х·ch x, ch 2x = ch²x + sh² x, .

   В приложениях приходится рассматривать и обратные гиперболические функции. Если положим ch x = u и sh v = v, то x = Arch u = = arsh v. Здесь Ar происходит от латинского слова «area» Из этих двух функций первая двузначна, а вторая однозначна. Решая уравнения

относительно е^х, находим

,

откуда

.

Следовательно,

.

   Впервой из этих двух формул допустимы перед корнем оба знака. Во второй - только один, ибо при отрицательном знаке логарифм перестает быть вещественным.