40. Предел функции, теорема существования предела функции.

Функция   имеет предел   в точке  , предельной для области определения функции  , если для каждой окрестности предела   существует проколотая окрестность точки  , образ которой при отображении   является подмножеством заданной окрестности точки  .

Определения

Рассмотрим функцию  , определённую на некотором множестве  , которое имеет предельную точку   (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой последовательности точек  , сходящейся к  , но не содержащей  в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности   ), последовательность значений функции   сходится к 

Предел функции по Коши

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число   такое, что для всех аргументов  , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство 

Окрестностное определение по Коши

Значение   называется пределом (предельным значением) функции   в точке  , если для любой окрестности   точки   существует выколотая окрестность   точки   такая, что образ этой окрестности   лежит в  . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

 Теорема. Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный  , необходимо и достаточно, чтобы

.

41. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

  Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х₀, если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀ + 0.   Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х₀, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x₀ | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде (  ε > 0) (   δ = δ(ε) > 0)(   0 < |х – х₀| < δ ) : | f (x) | < ε.

   Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х₀ отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию.   Доказательство. Пусть

Рассмотрим разность f (x) – А = α(х). Так как

,

то функция α(х) является бесконечно малой при x → х₀.

Свойства бесконечно малых функций

1)      Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2)      Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3)      Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4)      Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Бесконечно большие функции

  Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x₀ (или x → x₀), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х₀ | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.   В этом случае пишут

и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х₀ , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х₀. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K) , то пишут

 или 

и говорят, что функция имеет в точке х₀ бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞).   По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы:

,  ,  ,  .

Так, например, пишут   если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х₀ < x < х₀ + δ , выполняется неравенство f (x) > К. Или в символической записи

(  K > 0) (  δ = δ(K)> 0)(  x₀ < х < x₀+δ ) : f (x) > K.

Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями

   Если f (x) — бесконечно большая функция, то   есть бесконечно малая функция в этой же точке.    В самом деле, пусть  , это означает, что

(  K > 0) (  δ = δ(K)> 0) (  0 < | x - x₀ | < δ ) : | f (x) | > K .

   Так как |f (x)| > K , то  .  Будем считать, что  , тогда

(  ε > 0) (  δ = δ(ε)> 0) (  0 < | x - x₀ | < δ ) : 1/| f (x)| <ε .

Это означает, что  .

Свойства бесконечно больших функций в точке

Пусть f (x) бесконечно большая функция при x→ x₀, a g (x) такая функция , что g(x) > h > 0 в некоторой δ - окрестности точки х₀. Тогда f (x)·g(x) – бесконечно большая функция:

.

Доказательство. Так как  , то

(  K > 0) (  δ₁ = δ₁(K) > 0)(  0 < | x - x₀ | < δ₁ ) : | f (x)| >K/h .

где h - то число, для которого g ( x) > h > 0 (при условии   0 < | x–x₀ | < δ₁ ). В этом случае в этой окрестности имеем

| f (x)·g (x) | = | f (x) |·| g (x) | > h·K / h = K.

Последнее неравенство означает

.

Пусть f (x) бесконечно большая функция при x → х₀, а g (x)- функция, ограниченная в некоторой окрестности точки х₀. Тогда f (x) + g (x) бесконечно большая функция, то есть

.

Доказательство. Так как  , то

(  N > 0) (  δ₁ = δ₁(N) > 0)(  0 < | x – x₀| < δ₁ ) : | f (x)| > N + M .

Так как g (x) ограничена, то

(  M > 0) (  δ₂ = δ₂(N) > 0)(  0 < | x – x₀ | < δ₂ ) : | g (x)| < M .

Если считать, что δ = min{δ₁,δ₂}, то справедливо неравенство

| f(x) + g(x) | > | f(x) | − | g(x) | > N + M − M = N,

что и требовалось доказать.

Сравнение бесконечно малых функций

  Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x₀ и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х₀ (за исключением, быть может, самой точких₀). Если

 = 0,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) . В этом случае пишут α(x) = o(β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).   Если

 = А ≠ 0 ( A - число),

то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = O(β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).    Если

 = ∞,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).    Если

 = 1,

то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).   В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если

,

то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).