2°. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость.

, на .

Опред.: Решение нормальной системы называется устойчивым по Ляпунову, если той же системы, удовлетворяющее неравенству , , выполняется неравенство , .

Опред.: Решение асимптотически устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову и

, . .

Решение нормальной системы устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво нулевое решение преобразованной системы

Билет №22

3°. Теорема Ляпунова.

Теорема:

Пусть нормальная система имеет решение . Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям:

1). , .

2). если - решение, то при , тогда точка покоя устойчива по Ляпунову.

Если к тому же при , , то точка покоя асимптотически устойчива.

Опред.: Функция называется функцией Ляпунова.

Следствие:

Если действительные части всех собственных чисел матрицы отрицательны, то любое решение ассимптотически устойчиво.

Доказательство:

, - собственные числа матрицы .

Если , .

.

Билет № 23

4°. Классификация точек покоя линейных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

, где .

1. ,	Устойчивый узел.
2. ,
3. .	«седло»

4.

Утверждение:

- действ. вектор функц. тогда и только тогда, когда .

, - линейно не зависимы.

- невырожденная матрица.

Оператор хорошо преобразует вектора.

.

семейство окружностей, преобразованных оператором

семейство эллипсов «центр».

5 . ,

, . устойчивый фокус.

6. ,

, . неустойчивый фокус.

7 . О бщее решение:	8 .
9 . О бщее решение:	1 0.
1 1. О бщее решение:	1 2.
1 3. О бщее решение:	1 4.

Билет № 24

§ 10. Краевая задача для ЛДУ 2-го порядка.

1°.Постановказадачи.

Опред.: Если , то краевые условия называются однородными.

Опред.: Если удовлетворяет краевым условиям, то удовлетворяет однородным краевым условиям.

Пример 1:

Пример 2:

Билет № 25

2°. Задача Штурма-Лиувилля.

- непр.дифф.

, - непрерывны на , , на , .

Требуется найти все значения (собственное значение) при которых существует собственная функция , удовлетворяющая уравнению и краевым условиям.

Свойства собственного значения и собственной функции.

1. Существует монотонной возрастающая последовательность собственных значений , причем соответствует собственная функция , обращающаяся в ноль ровно раз на .

2. Если , то все собственные значения положительны, за исключением случая , , , .

3. Собственные функции на отрезке образуют ортонормированную систему с весом , то есть

4. Всякая функция , удовлетворяющая краевым условиям и имеющая непрерывную 1-ю производную и кусочно-непрерывную 2-ю производную, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям :

, где .

Пример:

Характеристические корни: .

1). ,

.

2). .

3).

; , ;

( , , )

,

- орт. на .

Билет № 26

§ 1. Классификация УРЧП.

1°. Определение.

Опред.: УРЧП – это у-е , где

- независимые переменные, .

Примеры у-ий в матфизике:

,

.

2°. Линейные уравнения 2-го порядка от двух независимых переменных.

.

Существуют следующие типы таких уравнений:

Гиперболические:

Параболические:

Эллиптические:

3°. Уравнение характеристик.

,

- эти семейства кривых называются характеристическими кривыми (или характеристиками).

Если сделать замену переменных , , и подставить ее в исходное уравнение, оно существенно упростится.

.

Билет № 27

4°. Приведение к каноническому виду линейных уравнений 2-го порядка от двух независимых переменных.

,

Гиперболический тип.

.

Можно считать, что (так как если , то в исходном уравнении меняются местами переменные и . Если же , то вообще решать нечего).

Следовательно, , .

.

Билет № 28

4°. Приведение к каноническому виду линейных уравнений 2-го порядка от двух независимых переменных.

,

Параболический тип.

Можно считать, что , .

,

Эллиптический тип.

Можно считать, что (так как если , то , чего быть не может).

,

Следовательно, .

.

Билет №29

§ 2. Колебания бесконечной струны.

1°. Постановка задачи.

Опред.: Струна бесконечная - то есть колебания на одном конце струны очень нескоро дойдут до другого конца.

Н ачальные условия:

Нужно найти положение струны в заданный момент времени в полуплоскости.

2°. Формула Даламбера.

3°. Физический смысл.

бегущая волна

Билет № 30

§ 3. Начально-краевая задача для уравнения 2-го порядка от двух независимых переменных.

1°. Постановка задачи.

Краевые условия:

2°. Метод Фурье.

Если бы , то , ,

, .

Если функция непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную, то тригонометрический ряд для сходится абсолютно и равномерно к .

Докажем, что производные и существуют.

- абсолютно и равномерно сходятся, так как:

и достаточно больших .

Билет № 31

§ 4. Задача Дирихле для уравнения Лапласа.

1°. Постановка задачи для трехмерного тела.

2°. Задача Дирихле для круга.

,

,

, ,

,

Подставляем во второе уравнение , получаем:

Получилось уравнение Эйлера.

,

,

Если , , , , , ,

проинтегрировав, получаем (в нуле не определен, поэтому по смыслу задачи мы должны взять ).

Получим: , ,

Любая функция этого набора удовлетворяет уравнению Лапласа. Рассматривая сумму этих функций, то есть ряд:

,

Должно быть справедливо для всех .

, ,

Билет № 32

3°. Интегральная функция Пуассона.

(ядро Пуассона)

{представим как сумму геометрической прогрессии}

.

.

.

4°. Формула Пуассона для шара.

.

Билет № 33

§ 5. Колебания закрепленной струны.

1°. Постановка задачи.

Уравнение колебаний струны:

Граничные условия:

Начальные условия:

2°. Метод Фурье.

Задача Лиувилля:

,

Билет № 34

§ 6. Вывод уравнений математической физики.

1°. Уравнение теплопроводности.

Количество тепла, проходящее через левую грань куба справа налево за интервал времени (t,∆t+t), равно , α – коэффициент теплопроводности. , Общее количество тепла, входящее в Q, за интервал времени (t,t+∆t) , ,

2°. Уравнения малых колебаний струны.

, = (x+∆x,t)

(x+∆x,t)- (x,t))=T (x,t)∆x

𝜌∆x (x,t)=T (x,t)∆x