5°. Нормальная линейная система (нлс).

Теорема:

Пусть коэффициенты НЛС непрерывны на интервале , тогда для любых начальных значений , где существует единственное решение НЛС, определенное на , удовлетворяющее начальным условиям

Билет №9

1°. Линейная однородная система (лос).

1. Если - решение ЛОС на и , то на .

2. Множество всех решений ЛОС является линейным пространством.

- решение ЛОС - решение

- решение - решение.

Коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность следуют из аналогичных свойств операций с - мерными векторами.

3. Теорема: Решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда они линейно-зависимы хотя бы при одном значении .

Доказательство:

.

.

Рассмотрим .

4. Размерность пространства решений ЛОС равна числу уравнений в системе.

Рассмотрим линейно-независимые постоянные вектора .

.

По теореме о существовании и единственности существует решение ,

.

Эти решения линейно независимы согласно пункту 3.

2°. Фундаментальная система решений (фср).

Опред.: Фундаментальной системой решений ФСР называется любой базис пространства решений.

Теорема (о структуре общего решения О ЛОС.):

Если вектор-функции образуют ФСР, то является решением ЛОС тогда и только тогда, когда . .

- ФСР.

Билет №10

Фундаментальная матрица однородной системы и её свойства. Определитель Вронского.

(фундаментальная матрица).

Свойства фундаментальной матрицы:

1. - невырожденная .

2.

3. Вектор-функция тогда и только тогда является решением однородной системы, когда выполняется равенство: , где - постоянный вектор.

.

4. Теорема: Если - фундаментальная матрица, то матрица будет фундаментальной тогда и только тогда, когда , где - невырожденная постоянная матрица.

Доказательство:

.

- решение. - решение ЛОС.

. , .

3°. Определитель Вронского (Вронскиниан).

Опред.: Определителем Вронского вектор-функций называется определитель

Решения (ЛОС) образуют ФСР тогда и только тогда, когда (хотя бы в одной точке).

- ФСР , .

Билет № 11

5°. Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка.

- ЛДУ

- линейный дифференциальный оператор -го порядка.

Если , то получаем линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ)

Если , то получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Сумма решений ОДУ , а также произведение решения на число снова является решением.

Уравнению можно поставить в соответствие линейную однородную систему:

Каждому решению уравнения можно однозначно сопоставить решение

ЛОС (1)

Соответствие (1) не нарушается при сложении решений и умножении решения на число. Оно также сохраняет линейную зависимость или независимость решений.

на

Свойства уравнения :

1. Если - решение уравнения на и , , то на .

2. Множество всех решений уравнения является линейным пространством размерности .

3. Решения уравнения линейно независимы тогда и только тогда, когда они линейно независимы хотя бы при одном значении .

ФСР называется любой базис пространства решений, то есть любые линейно независимых решений.

4. Теорема о структуре общего решения:

Если функции образуют ФСР, то функция является решением тогда и только тогда, когда , где .

- фундаментальная матрица.

Опред.: Определителем Вронского функций называется определитель

5. Решения уравнения образуют ФСР тогда и только тогда, когда

.

Замечание: для линейной независимости произвольных функций условие является достаточным, но не необходимым.

Пример:

на

ЛНУ, так как если

Билет №12

4°. Формула Лиувилля-Остроградского (Формула Якоби).

Вывод формулы:

- фундаментальная матрица

6°. Формула Лиувилля-Остроградского для ЛО ДУ -го порядка.

Билет № 13, 14

6°. Линейные неоднородные ДУ и системы.

Теорема (общее решение ЛНС):

, где - частное решение, - ФСР, соответствующая однородной системе, , .

Доказательство.:

. .

. Пусть - решения.

.

.

Для ЛНУ го порядка имеет место аналогичная теорема.

Билет № 15

7°. Метод вариации постоянных.

Данный метод позволяет найти частное решение.

находим находим .

Находим

Билет № 16

3°. ЛОУ -го порядка с постоянными коэффициентами.

, .

,

(характеристический многочлен).

Пусть - все корни характеристического многочлена .

1-й случай ( различны):

Тогда - ФСР.

, .

Пусть

Если - действительны и являются ФСР.

Если ,

- корень ,

Следовательно - решения .

,

- линейно независимы

над линейно независимы над .

Билет № 17

3°. ЛОУ -го порядка с постоянными коэффициентами.

, .

,

(характеристический многочлен).

Пусть - все корни характеристического многочлена .

2-й случай (среди есть одинаковые):

Лемма 1:

Если - корень кратности характеристического многочлена , то

, линейно независимы над .

Доказательство:

{

}

Лемма доказана.

- различные среди корней характеристического многочлена с кратностями ,

Лемма 2:

Если , где - многочлены с комплексными коэффициентами.

.

Доказательство (проводим индукцией по ):

База

Шаг - л. справа.

Продифференцируем это равенство раз:

Теорема:

- ФСР .

Доказательство:

Пусть ,

,

Линейно независимо над линейно независимо над .

Билет № 18