2.9.2 Задача о нахождении пути максимальной длины между двумя фиксированными вершинами ориентированного графа

Сетевое планирование.

Постановка задачи и ее решение аналогичны предыдущей задаче. Алгоритм решения задачи следующий:

Шаг 1. Проставить метки: для вершин Х₀ = 0, для лю­бой другой вершины X_i метку

Шаг 2. Найти на графе такую дугу (X_i, X_j), для которой

Изменить метку вершины X_j на

Шаг 3. Повторять шаг 2 до тех пор, пока метки вершин не перестанут меняться.

На графе-сети получим решение за один шаг, если будем пользоваться формулой

2.22

Определим путь максимальной длины и его длину для условия предыдущей задачи.

Следуя алгоритму, полагаем Так как , то меняем метку вершины X₁ на метку

Х₀

Аналогично, для вершины X₂:

Х₀

Для определения метки вершины Х₃ применяем формулу 2.22:

Х₁

Справа отмечаем вершину, по которой достигается мак­симум.

Для вершины Х₄ и Х₅ получаем:

Х₃

= Х₄

Длина максимального пути из вершины Х₀ в вершину Х₅ =14. Сам путь получим, просматривая отмеченные вершины: = {Х₀, X₁, Х₃, Х₄, X₅}.

Путь максимальной длины - критический путь, его дли­на совпадает с критическим временем завершения проекта, представленного графом-сетью, т.е. с критическим временем. Вершина Х₀ - событие, состоящее в начале всего проекта, т.е. всех работ, представленных на графе дугами; X_n - событие, состоящее в окончании всех работ, всего проекта. Другие вершины X₁, ... , X_n-1 - события, состоящие в начале одних и окончании других работ. Дуги графа - работы, составляющие проект. Последовательность выполнения работ - со­держание проекта, представлено графом-сетью. Длина дуги - продолжительность выполнения данной работы. Скорейшее время завершения всего проекта совпадает с длиной пути максимальной длины из Х₀ в Х_n и называется критическим временем. Работы, составляющие критический путь не до­пускают запаздывания по времени.

Так, граф (рис. 2.18) может рассматриваться как неко­торый проект, состоящий из девяти работ, заданных таблицей:

Виды работ	Какие работы следуют за перечисленными	Продолжительность работ
1	2,3	2
2	8	3
3	6,7	4
4	6,7	5
5	9	4
6	8	6
7	-	4
8	-	2
9	-	7

Номера работ обозначены числами в кружке.

Работы критического пути 1, 3, 6, 8 не допускают запаз­дывания по времени, так как в противном случае запаздывает исполнение всего проекта. Начинать построение сетевого графа необходимо с работ, не отмеченных во втором столбце таблицы (работы 1, 4, 5); заканчивают проект работы, за ко­торыми не следуют никакие другие (работы 7, 8, 9).

Рис. 2.18