- •1. Элементы теории множеств
- •1.1 Понятие множества. Основные определения
- •Способы задания множества
- •Равенство множеств
- •Подмножество
- •Операции над множествами
- •Предварительные замечания
- •Объединение множеств
- •1.5.3 Пересечение множеств
- •1.5.4 Разность множеств
- •1.5.5 Симметрическая разность
- •1.5.6 Универсальное множество
- •1.5.7 Дополнение множества
- •Принцип двойственности в алгебре множеств
- •Тождества алгебры множеств
- •Разбиение множества
- •Упорядочение элементов и прямое произведение множеств
- •Упорядоченное множество
- •Прямое произведение множеств
- •1.9.3 Проекция множества
- •1.10 Соответствия
- •1.10.1 Обратное соответствие
- •1.10.2 Композиция соответствий
- •1.10.3 Отображения и функции
- •1.10.4 Основные свойства отображений
- •1.11 Функция
- •1.11.1 Способы задания функции
- •1.11.2 Сужение функции
- •1.11.3 Обратная функция
- •1.11.4 Функция времени
- •1.11.5 Понятие функционала
- •1.11.6 Понятие оператора
- •1.12 Отношения
- •1.12.1 Задание бинарных отношений
- •Свойства отношений
- •1.12.3 Отношение эквивалентности
- •1.12.4 Отношение порядка
- •1.13 Конечные и бесконечные множества
- •1.13.1 Счётные и несчётные множества
- •1.13.2 Свойства счетных множеств
- •1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.
- •2. Объединение любого конечного или счетного множества счетных множеств есть снова счетное множество.
- •3. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
- •1.13.3 Эквивалентность множеств
- •1.13.4 Теорема г. Кантора
- •1.13.5 Теорема Кантора – Бернштейна
- •1.13.6 Верхняя и нижняя границы множества
- •1.13.7 Теорема о верхних и нижних границах подмножества
- •1.13.8 Понятие мощности множества
- •2. Основные положения теории графов
- •2.1 Определение графа
- •2.2 Матричные представления графа
- •2.3. Достижимость
- •2.4. Неориентированные графы
- •2.5. Изоморфизм графов
- •2.6. Отношение порядка и отношение эквивалентности на графе
- •2.7. Характеристики графов
- •2.8 Операции над графами
- •2.9. Определение путей экстремальной длины
- •2.9.1. Задача о кратчайшем пути между двумя вершинами (ориентированного графа
- •2.9.2 Задача о нахождении пути максимальной длины между двумя фиксированными вершинами ориентированного графа
- •Номера работ обозначены числами в кружке.
- •Литература
1.10.4 Основные свойства отображений
Теорема. Прообраз суммы двух множеств равен сумме их прообразов
1.45
Доказательство.
Пусть . Это значит, что f(x)АВ, т.е. (x)А или (x)В. Но тогда х принадлежит по крайней мере одному из множеств или , т.е. .
Обратно: Если , то х принадлежит по крайней мере хотя бы одному из множеств А или В, следовательно, f(x)АВ, но тогда .
Теорема. Прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов.
1.46
Доказательство.
Если , то , т.е. и . Следовательно, и , т.е. .
Обратно, если , т.е. и , то и . Иначе говоря, . Следовательно
Теорема. Образ суммы двух множеств равен сумме их образов.
1.47
Доказательство.
Если , то это означает, что у=f(x), где х принадлежит, по крайней мере, одному из множеств А и В. Следовательно, у=f(x) .
Обратно, если у , то y=f(x), где х принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В, т.е. , и, следовательно, y=f(x) .
1.11 Функция
Рассмотрим некоторое отображение f: XY. Как уже говорилось, это отображение называется функцией, если оно однозначно, т.е. если для любых пар (х1, у1)f и (х2, у2)f из х1=х2 следует у1=у2.
Y
y1
y2
X
x2 x1
Рис. 1.10
Однозначное соответствие, определенное формулой f: XY называют функцией с вещественными значениями, если YR.1
Пример. Из пункта А в пункт В передача единицы сообщения по телефону, телеграфу, телемонитору, телефаксу стоит соответственно a, b, c, d. Тогда стоимость передачи сообщения можно представить как функцию от вида передачи. Для этого рассмотрим множества:
Х={телефон, телеграф, телефакс, телемонитор};
Y={a, b, c, d}.
Функция f: XY, получаемая из условий, может быть записана в виде: f={(телефон, а); (телеграф, b); (телефакс, с); (телемонитор, d)}.
Значение у в любой из пар (х, у)f называют функцией от данного х и записывают в виде: у=f(x). Такая запись позволяет ввести следующее формальное определение:
f={(x, y)XY | y=f(x)} 1.48
Таким образом, символ f используют при определении функции в двух смыслах:
f является множеством, элементами которого будут пары (х, у), участвующие в соответствии;
f(x) является обозначением для yY, соответствующего данному хХ.
1.11.1 Способы задания функции
Формальное определение позволяет определить способы задания функции.
Перечисление всех пар (х, у), составляющих множество f. Применим, когда Х – конечное множество. Для наглядности пары (х, у) располагают в виде таблицы (Табличный метод).
Во многих случаях Х и Y представляют собой множества вещественных или комплексных чисел. В таких случаях под f(x) понимается формула, т.е. выражение, которое надо произвести над хХ, чтобы получить у.
Пример. Пусть Х=Y=R и f={(x, y)R2 | y=Sin x2 }.
Тогда f(x)=Sin x2.
Пусть Х1, Х2, …Хn –попарно непересекающиеся подмножества Х. Если через fI(x), обозначить формулу, определяющую у при хХI, то имеем:
Если Х и Y –множества вещественных чисел, то элементы (х, у)f можно изобразить в виде точек на плоскости R2. Полная совокупность таких точек будет представлять собой график функции f(x).
Если в выражении f: XY X=UV, то имеет место функция 2-х переменных u и v, обозначаемой через f(u, v), где uU, vV.
Формальное определение функции двух вещественных переменных будет следующим:
1.49
Аналогично определяют функцию от 3-х и большего числа переменных.