1.13.2 Свойства счетных множеств

1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство. Пусть А –счетное множество, В – его подмножество. Занумеруем элементы множества А: а₁, а₂, …, а_n… Пусть - те из них, которые входят в В. Если среди чисел n₁, n₂,… есть наибольшее, то В конечно, в противном случае В счетно, поскольку его члены занумерованы числами 1, 2,…

2. Объединение любого конечного или счетного множества счетных множеств есть снова счетное множество.

Доказательство. Пусть А₁, А₂, … - счетные множества. Можно считать, что они попарно не пересекаются.² Все элементы множеств А₁, А₂, …. можно записать в виде следующей бесконечной таблицы:

а11

а12

а13

а14

….

а21

а22

а23

а24

….

а31

а32

а33

а34

….

а41

а42

а43

а44

….

…

…

…

…

…

где в первой строке стоят элементы множества А₁, во второй – элементы множества А₂ и т. д. Занумеруем все эти элементы по диагоналям, т.е. за первый элемент примем а₁₁, за второй а₁₂, за третий а₂₁ и т.д., двигаясь в порядке, указанном стрелками на следующей таблице:

			а11	а12	а13	а14	….
			а21	а22	а23	а24	….
			а31	а32	а33	а34	….
			а41	а42	а43	а44	….
			…	…	…	…	…

Ясно, что при этом каждый элемент каждого из множеств получит определенный номер, т.е. будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми элементами всех множеств А₁, А₂, … и всеми натуральными числами. Утверждение доказано.